Слово треугольник образовано от сложного прилагательного "треугольный", а оно в свою очередь от двух слов "три" "угла" с помощью суффикса:
три угла - треугольный - треугольник.
У числительного "три" корнем является часть тр-, которая прослеживается в родственных словах:
трое, тройка, тройня, утроить, трёшка.
Корни тр- и -уголь- объединяет в новое слово соединительная гласная е, как и в словах:
птицефабрика, овощехранилище, грязелечебница, мореплаватель.
Поэтому выберем вариант написания треугольник.
Написание соединительной морфемы е заметим в аналогичных сложных словах с первым корнем тр-:
треугольный, треуголка, треуголочка, трезубец, тренога.
Только в единственном слове трилистник пишется интерфикс и.