По сути, многое уже сказано в предыдущих ответах. И я как бы либо подвожу итог, либо чуть-чуть корректирую сказанное (из опыта друзей и своего личного):
Затариваемся коробками подойдут из под обуви, из магазина (очень хороши коробки из под бананов), покупаем мешки для мусора разной величины, мешки для строительного мусора. Пищевую пленку, пузырчатую пленку, скотч. Сейчас появились еще вакуумные мешки, с насосом, идеальные для перевоза одежды и постельного белья, даже если у вас нет пылесоса. Не забываем про чемоданы и сумки (их можно взять у друзей и родственников). И, если есть возможность, то крошка пенополиэтиленовая.
Покупаем бутылочку вина или водочки, приглашаем друзей подруг :)
Начинаем сбор с кладовки (если такая существует), плавно переходим к шкафам и сервантам, потом ванна-кухня. То есть сначала то, чем мы меньше всего пользуемся, потом то, чем пользуемся часто.
Верхнюю одежду упаковываем либо в специальные пакеты на молнии, либо в большие мусорные мешки. Одежду кладем компактно, не обращая внимания на стрелочки и прочее. За кратковременные период переезда одежда не испортится. Милые пустячки в виде магнитиков, игрушечек, статуэток складываем в пакетики, конверты и обувные коробки.
Обязательно подписываем коробки! На каждой маркером либо бывшее место хранения вещей: "верхняя полка этажерки из спальни" или конкретное перечисление: "магниты с холодильника, клей момент, нитки..."
Все коробки и пакеты складываем в отведенный угол (не распределяйте их по вей квартире, так вам будет легче контролировать отгрузку и сборку вещей). Методично освобождайте каждый шкаф, тумбочку, полку. Относите свои упаковки в "отгрузочный угол", чтобы вся мебель осталось пустой и это было видно.
Посуду оборачиваем своим же бельем, пакетами или бумагой (черновики, газеты, журналы). Когда въедете на новое место все потом помоете, постираете, все опять будет чисто.
Можно воспользоваться бумажным скотчем или пищевой пленкой. Если стопку тарелок плотно обмотать скотчем или пленкой, чтобы она не рассыпалась, то не потребуется оборачивать каждую тарелку бумагой, а уже только всю стопку. Это экономит место, время и ту же бумагу, которая не бездонна. Для посуды так же хорошо использовать пенополиэтиленовая крошку.
Что-то из посуды можно сложить в вакуумные мешки с одеждой. Там она будет надежно обернута, одежда от такого кратковременного соседства не испортится.
Переходим к мебели и крупногабаритной бытовой технике. Отключаем бытовую технику. Часть мебели разбираем и упаковываем в пленку и ткань. Далее упаковываем то, что разобрать нельзя.
А вообще, если есть финансовая возможность, то для перевозки мебели лучше обратиться в специализированные компании по перевозке. Они и разберут, и упакуют ее, погрузят в машину и отвезут в новое "место дислокации".
Животных лучше перевозить самостоятельно в специальных коробках и корзинах. Для них переезд больший стресс, чем для вас. Они как в фэнтези, - переходят из одного измерения в другое, а не просто переезжают из квартиры в квартиру.
Во время сборки вещей сортируйте их по мере возможности, - то чем вы не пользовались несколько месяцев лучше раздать или вынести такие вещи к подъезду, что-то вообще давно пора было выкинуть. Если есть время, то часть вещей можно распродать, и возможно это окупит переезд.