Русскому языку не свойственно соседство двух гласных звуков. Такое явление называется зиянием. Когда-то, очень давно, в древнерусском языке действовал закон открытого слога. Он заключался в том, что любой слог начинался согласными звуками наименьшей звучности и заканчивался гласными. При таком положении дел вероятность того, что рядом оказались бы два гласных, была ничтожно мала, разве только на стыке приставки и корня. Закон этот давным-давно потерял действенность, а неприятие зияния в языке осталась. Слова, в корнях которых рядом оказываются два гласных звука, заимствованы из других языков, поэтому нецелесообразно ожидать от них, что они будут идеально вписываться в традиции русского языка (кстати, слово "идеально" также содержит зияние).
Слово МОЗÁИКА по происхождению латинское, и в нём тоже существует зияние - [áи], в котором на первый гласный падает ударение. Так его и нужно произносить - с полнозвучным гласным [и], следующим за ударным [á], и никаких "бабаек-мазаек". То, кто не умеет, должен научиться, того, кто не хочет, нужно заставить писать и произносить это слово правильно. В данном случае литературный русский язык не признаёт никаких вариантов произношения либо написания.
А вот в прилагательном МОЗАИЧНЫЙ ударение падает как раз на [и], и тоже без вариантов. Это же ударение остаётся в наречии МОЗАИЧНО и образованном от него существительном МОЗАИЧНОСТЬ.
Последняя трудность - как произносить слово "мозаиковый", встречающееся в романе "Война и мир"?
даёт также один возможный вариант:
МОЗÁИКОВЫЙ, с ударением на [á] в отличие от слова МОЗАИЧНЫЙ, в котором ударение падает на [и].
Все эти случаи нужно просто выучить наизусть.