Ну в пределах школьной математики действительно такое уравнение рассматривать нельзя. Ответом будет пустое множество.
А вот если это уже не школа, то в данном случае тоже будет пустое множество, потому что нельзя взять такое число, которое поделив на 0 получили бы 538. Но вот если бы справа была бы бесконечность, то подошло бы любое х (с точки зрения не школьной математики).
Всё просто..
Систему из двух линейных дифуравнений можно преобразовать одно в линейное дифуравнение второго порядка..
Для этого например находим у из первого уравнения:
y=6x-x'
Дифференцируем его:
y'=6x'-x''
Теперь подставляем во второе уравнение:
6x'-x''=3x+2(6x-x')
Теперь приводим:
6x'-x''-3x-12x+2x'=0
Окончательно получаем дифуравнение второго порядка:
-x''+8x'-15x=0
Решаем это уравнение, оно имеет только свободную составляющую..
Находим решение квадратного алгебраического уравнения:
-x^2+8x-15=0
x1=5
x2=3
Оба корня действительные..
Тогда решение уравнения может быть выглядеть:
x(t)=C1e^5t+C2e^3t
Теперь ищем постоянные интегрирования:
x(0)=C1+C2
x'(0)=5C1+3C2
Откуда решая систему получим:
C2=(5x(0)-x'(0))/2
C1=(-3x(0)+x'(0))/2
Из первого уравнения:
y=6x-x'
x'=5C1e^5t+3C2e^3t
Откуда:
y(t)=6(C1e^5t+C2e^3t)-5C1e^5t-3C2e^3t
Окончательно:
y(t)=C1e^5t+3C2e^3t
Постоянные интегрирования через нулевые начальные условия по x и у:
x(0)=C1+C2
y(0)=C1+3C2
Откуда:
С1=(3х(0)-у(0))/2
С2=(х(0)-у(0))/2
Подставляем и получаем окончательные решения:
x(t)=((3x(0)-y(0))/2)e^5t+((x(0)-y(0))/2)e^3t
y(t)=((3x(0)-y(0))/2)e^5t+(3(x(0)-y(0))/2)e^3t
Системы уравнений можно решить несколькими способами из тех, что распространены. Первый способ- это подстановка одного из членов одного уравнения в другое, выражение другого члена через оставшиеся и подстановка в третье и так далее. В общем это школьный способ.
Другой способ- это составление матрицы и упрощение этой матрицы. Называется методом Гаусса. Подходит для больших систем уравнений, где все члены в степени 1 (линейные уравнения). Суть та же, но запись укорочена и легче заставить компьютер решить такую систему. Изучают на первом курсе математического анализа.
Ну а ещё дифференциальны уравнения высших порядков есть. Их тоже вроде как-то решают. Но это уже второй курс университета, когда становится не до учебы.
Но в первом случае можно воспользоваться признаком Даламбера. Найти предел отношения n+1 члена к n члену при n стремящимся к бесконечности.lim((9/10)^(n+1)* (n+1)^7/(9/10)^n*n^7)=lim((9/10)*(n+1)^7/n^7)=9/10*lim((n+1)^7/(n^7))=9/10 (предел равен 1). Так получили 9/10<1, то ряд сходится.
Знакочередующий ряд исследовать можно так: рассмотрим ряд, составленный из модулей, получим ряд 1/ n^2. Так как показатель степени больше 1, то ряд сходится ( для того чтобы это доказать, можно использовать признак Коши интегральный). Так как ряд, составленный из модулей, сходится, то и исходный знакочередующийся ряд сходится причем абсолютно.
Для исследования ряда с артангенсом используем признак Коши. Найдем lim((arctg(1/5^n))^n)^(1/n))=lim(arctg(1/5^n))=0. Следовательно, ряд сходится.
Ну и все остальное в том же духе.
Из тригонометрического тождества Sin^2(α)+Cos^2(α)=1 по рекомендации Грустного Роджера выражаем Cos^2(2х)=1-Sin^2(2х)и подставляем в исходное уравнение, получаем квадратное уравнение sin2x+2*(1-Sin^2(2х))=1. Выполняем преобразования: sin2x+2-2*Sin^2(2х)=1, 2*Sin^2(2х)-sin2x+1=0. Это уравнение не имеет действительных корней.
