Через дефис приставки могут писаться, в основном, с наречиями.
1) Это наречия с приставкой по- и суффиксом -и.
Они образуются: а) от полных прилагательных относительных на -ский, -цкий. Например, русский - по-русски, английский - по-английски, португальский - по-португальски, немецкий - по-немецки, казацкий - по-казацки;
б) от притяжательных прилагательных на -ий, -ья, -ьё, например, медвежий - по-медвежьи, лисья - по-лисьи.
2) Наречия с приставкой по- и суффиксом -ому, -ему.
Эти наречия по своему происхождению связаны с дательным падежом: а) прилагательных (как качественных, так и относительных), например, соловьиный - по-соловьиному, домашний - по-домашнему, старый - по-старому, быстрый - по-быстрому;
б) так же с дательным падежом притяжательных местоимений, например, ваш - по-вашему, мой - по-моему, твой - по-твоему.
3) Наречия, образованные от порядковых числительных при помощи приставки во-(в-), например, первый - во-первых,
четвертый - в-четвертых.
4) Наречия, образованные от составных прилагательных,
например, социал-демократическая (идеология) - по-социалдемократически.
5) Наречие по-латыни тоже пишется через дефис, но так оно пишется по аналогии с наречиями "по-русски" и т.п.
6) Есть наречие на-гора (специальный технический термин), которое пишется через дефис.