Имбирь - это корневище травянистого растения, поэтому ни в коем случае не фрукт.
Понятия "фрукт" и "овощ" - не ботанические. Ботаники орперируют термином "плод". Но имбирь - не плод, как и морковка, буряк, репчатый лук. Это корни. Имбирь, повторюсь - корневище, то есть видоизменённый подземный побег.
Понятия "фрукт" и "овощ" - бытовые и хозяйственно-технические, и в значительной мере условные. Происхождение этих терминов довольно запутанное. В современном русском языке фруктами принято называть съедобные плоды деревьев и отчасти кустарников. Слово фрукт происходит от латинского fruct (плод вообще, любой плод). Английское fruit также означает плод вообще, также и в переносном смысле. В русском языке значение слова фрукт сузилось до продукции садоводства - съедобных плодов деревьев. Мы различаем даже фрукты и ягоды, хотя ягоды - это тоже плоды.
Слово овощ исконно русское, но в средние века, а местами даже вплоть до 19 века, оно означало "съедобный плод любого растения". В современном русском языке слово овощ было частично вытеснено словом фрукт, частично изменило своё значение и стало означать продукцию огородничества - независимо, плод это или корень. Причем, мы, опять же, включаем в понятие "овощи" только основные продукты питания, но не включаем в него зелень и прочие приправы.
Так что вопрос "имбирь - это фрукт или овощ?" не правомерен. Всю продукцию растениеводства мы разделяем, с хозяйственной и бытовой точки зрения, на фрукты, ягоды, орехи, овощи, зелень, а также выделяем в отдельную категорию пряности и прочие приправы.
С этой точки зрения имбирь - это пряность.