Запишем матрицу:
1 3 -1 -6
7 3 2 -15
5 -3 4 -3 И приведем ее к диагональному виду. Для этого умножим первую строчку на -7 и прибавим ее ко второй строке:
1 3 -1 -6
0 -18 9 27
5 -3 4 -3
Аналогично сделаем и для третьей: умножим первую строчку на -5 и прибавим к третьей:
1 3 -1 -6
0 -18 9 27
0 -18 9 27
Так как получили две одинаковые строчки, то одну можно отбросить, тогда получим:
1 3 -1 -6
0 -18 9 27
Разделим вторую строчку на -9:
1 3 -1 -6
0 2 -1 -3
Тогда получим, что ранг данной матрицы равен 2. И тогда исходная система имеет два независимых нетривиальных решения ( так как 4-2=2, где 4 - число неизвестных).
Получим:
х1+3х2-х3-6х4=0
2х2-х3-3х4=0
Тогда получим, что х2=х3+3х4
х2=1/2*х3+3/2*х4
Подставляем в первое уравнение:
х1+1/2*х3-3/2*х4=0, х1=-1/2*х3+3/2*х4
Получаем, что у нас две свободные переменные это х3 и х4. А х1 и х2 - главные переменные.
Составим таблицу: подставим по очереди 1 в качестве одной из свободных переменных х3 и х4
х1 х2 х3 х4
х3 -1/2 1/2 1 0
х4 3/2 3/2 0 1
Тогда общее решение может быть записано так:
с1*(-1/2, 1/2, 1, 0)+с2*(3/2,3/2, 0, 1)
А векторы Х1=(-1/2,1/2,1,0) и Х3=(3/2,3/2,0,1) образуют фундаментальную систему решений данной системы уравнений.