Правилен первый вариант написания этого наречия -- невтерпёж.
Это слово образовано от глагола "терпеть", имеет тот же корень "терп-", как и других однокоренных словах, например, терпение, терпеливый, нетерпимость, недотерпеть, перетерпеть.
Заданное слово, кроме корня "терп-", состоит из двух приставок "не-" и "в-" и суффикса "-ёж", который и вызывает сомнения при написании слова.
Я бы в качестве проверочного рекомендовала имя существительное терпёж. Есть такое слово в нашем русском языке, хотя оно и считается разговорно-сниженным<wbr />, однако оно изменяется по падежам и во всех падежах, кроме именительного и винительного, имеет соответствующие падежные окончания, которые помогают чётко услышать последнюю согласную букву ж.
Вот и пример-предложение из известного произведения Михаила Шолохова "Поднятая целина":
Следовательно, и наречие невтерпёж правильно писать с шипящеё согласной ж на конце.
Мальчонка крутился около чемодана приехавшего отца: ему было невтерпёж скорее получить подарок.