Представим дробь в виде
![\dfrac{x}{x^3-1} = \dfrac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Cx+D}{x^2+x+1}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bx%5E3-1%7D+%3D+%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%28x-1%29%28x%5E2%2Bx%2B1%29%7D+%3D+%5Cdfrac%7BA%7D%7Bx-1%7D+%2B+%5Cdfrac%7BCx%2BD%7D%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D+)
. Сводим к общему знаменателю, т.е.
![\dfrac{x}{(x-1)(x^2+x+1)} = \dfrac{A(x^2+x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}+ \dfrac{(Cx+D)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%28x-1%29%28x%5E2%2Bx%2B1%29%7D+%3D+%5Cdfrac%7BA%28x%5E2%2Bx%2B1%29%7D%7B%28x-1%29%28x%5E2%2Bx%2B1%29%7D%2B+%5Cdfrac%7B%28Cx%2BD%29%28x-1%29%7D%7B%28x-1%29%28x%5E2%2Bx%2B1%29%7D++)
После того как мы свели к общему знаменателю, то данное выражение можно записать так
![x=A(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)](https://tex.z-dn.net/?f=x%3DA%28x%5E2%2Bx%2B1%29%2B%28Cx%2BD%29%28x-1%29)
(1)
Метод неопределённых коэффициентов.
Выбираем любое значение х. Допустим х=1, подставив в (1), получаем уравнение
![1=3A](https://tex.z-dn.net/?f=1%3D3A)
. Возьмем теперь х=0, получаем
![0=A-D](https://tex.z-dn.net/?f=0%3DA-D)
. Ну и последнее можно взять х=-1, т.е.
![-1=A+2C-2D](https://tex.z-dn.net/?f=-1%3DA%2B2C-2D)
.
Решив систему уравнений
![\begin{cases} & \text{ } 3A=1 \\ & \text{ } A-D=0 \\ & \text{ } A+2C-2D=-1 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } A= \frac{1}{3} \\ & \text{ } D= \frac{1}{3} \\ & \text{ } C=- \frac{1}{3} \end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cbegin%7Bcases%7D%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+3A%3D1+%5C%5C+%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+A-D%3D0+%5C%5C+%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+A%2B2C-2D%3D-1+%0A%5Cend%7Bcases%7D%5CRightarrow%5Cbegin%7Bcases%7D%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+A%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D++%5C%5C+%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+D%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D++%5C%5C+%0A+%26+%5Ctext%7B++%7D+C%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%0A%5Cend%7Bcases%7D)
Подставив значения A, C,D в (1), получаем разложение на простые дроби, т.е.
![\dfrac{x}{x^3-1}= \dfrac{\frac{1}{3}}{x-1}+ \dfrac{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}x}{x^2+x+1}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cdfrac%7Bx%7D%7Bx%5E3-1%7D%3D+%5Cdfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%7Bx-1%7D%2B+%5Cdfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%7D%7Bx%5E2%2Bx%2B1%7D++)