Так, так, так. У линейной функции возрастание/убывание зависит от углового коэффицента k
![y=kx+m](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dkx%2Bm)
: если k>0, функция возрастает, k<0 - убывает. Всё просто. Т.е. в убывании обе функции линейные, k<0 и в первом (k=-7), и во втором
![y=4- \frac{1}{3}x; k=- \frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D4-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7Dx%3B+k%3D-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D++)
. С этим разобрались. Теперь к возрастанию. Я не знаю, в каком Вы классе, постараюсь объяснить доступно. Чтобы определить возрастание/убывание функции, нужно взять значения
![x_1; x_2](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3B+x_2)
, два произвольных числа, но
![x_1\ \textless \ x_2](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%5C+%5Ctextless+%5C+x_2)
. Пусть мы имеем функцию
![y=f(x)](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Df%28x%29)
, тогда вычисляем значения функции в этих двух точках, имеем
![f(x_1)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x_1%29)
и
![f(x_2)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x_2%29)
, так вот, если
![x_1\ \textless \ x_2; f(x_1)\ \textless \ f(x_2);](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%5C+%5Ctextless+%5C+x_2%3B+f%28x_1%29%5C+%5Ctextless+%5C+f%28x_2%29%3B)
, тогда функция возрастающая, если же
![x_1\ \textless \ x_2; f(x_1)\ \textgreater \ f(x_2)](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%5C+%5Ctextless+%5C+x_2%3B+f%28x_1%29%5C+%5Ctextgreater+%5C+f%28x_2%29)
, то она убывающая, но только ПРИ УСЛОВИИ, что она монотонна на всей области определения (т.е. ТОЛЬКО возрастает или ТОЛЬКО убывает), в противном случае мы говорим о ПРОМЕЖУТКАХ возрастания и убывания. 1)
![y=x^3+1; x_1=-2; f(x_1)=(-2)^3+1=-7; x_2=4;x_1\ \textless \ x_2 \\ f(x_2)=4^3+1=65; f(x_1)\ \textless \ f(x_2)](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dx%5E3%2B1%3B+x_1%3D-2%3B+f%28x_1%29%3D%28-2%29%5E3%2B1%3D-7%3B+x_2%3D4%3Bx_1%5C+%5Ctextless+%5C+x_2+%5C%5C++f%28x_2%29%3D4%5E3%2B1%3D65%3B+f%28x_1%29%5C+%5Ctextless+%5C+f%28x_2%29+)
, т.е. функция возрастающая. А вот задание с
![y= \frac{x^2}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D+)
не совсем корректно, так как эта функция возрастает только при x>0, при x<0 она убывает, x=0 - Точка экстремума. Если уж брать математический анализ, то легко взять производную и исследовать функцию на "скорость изменения" (алгебраический смысл производной)
![y= \frac{x^2}{2}; y'= \frac{2x}{2}=x;](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D%3B+y%27%3D+%5Cfrac%7B2x%7D%7B2%7D%3Dx%3B++)
. Если производная в некоторой точке отрицательная, то функция убывает, если производная положительная, то функция возрастает, если производная равна 0, то это точка экстремума. Очевидно, что при x<0 функция убывает, при x>0 возрастает. Если же доказывать возрастание на промежутке x>0, тогда действуем, как и в первом случае (только не берем значения из ненужного нам промежутка):
![x_1=1; x_2=2; x_1\ \textless \ x_2; f(x_1)= \frac{1}{2};f(x_2)=2; f(x_1)\ \textless \ f(x_2)](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D1%3B+x_2%3D2%3B+x_1%5C+%5Ctextless+%5C+x_2%3B+f%28x_1%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3Bf%28x_2%29%3D2%3B+f%28x_1%29%5C+%5Ctextless+%5C+f%28x_2%29+)
, функция возрастает, что и требовалось доказать.