Числитель обычной несократимой дроби на 2 меньше от знаменателя. Если от числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 5, то дробь уменьшится на 1 /2. Найдите дробь.
Решение
Пусть х - знаменатель, тогда
(х-2)- числитель
- искомая дробь
ОДЗ: х≠0; x≠2
(х+5) - знаменатель новой дроби, тогда
(х-2-2) = (х-4)- числитель новой дроби
- новая дробь
По условию новая дробь меньше первоначальной на 1/2, получаем уравнение:
![\frac{x-2}{x}-\frac{x-4}{x+5}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7Bx-4%7D%7Bx%2B5%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
![\frac{x-2}{x}-\frac{x-4}{x+5}-\frac{1}{2}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bx-2%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7Bx-4%7D%7Bx%2B5%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D0)
![\frac{2*(x-2)*(x+5)-2x*(x-4)-1*x*(x+5)}{2x(x+5)}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2%2A%28x-2%29%2A%28x%2B5%29-2x%2A%28x-4%29-1%2Ax%2A%28x%2B5%29%7D%7B2x%28x%2B5%29%7D%3D0)
![\frac{2x^2+6x-20-2x^2+8x-x^2-5x}{2x(x+5)}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B2x%5E2%2B6x-20-2x%5E2%2B8x-x%5E2-5x%7D%7B2x%28x%2B5%29%7D%3D0)
![\frac{-x^2+9x-20}{2x(x+5)}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B-x%5E2%2B9x-20%7D%7B2x%28x%2B5%29%7D%3D0)
ОДЗ: х≠0; x≠-5
![-x^2+9x-20=0](https://tex.z-dn.net/?f=-x%5E2%2B9x-20%3D0)
![x^2-9x+20=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-9x%2B20%3D0)
![D=81-4*1*20=81-80=1=1^2](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D81-4%2A1%2A20%3D81-80%3D1%3D1%5E2)
![x_1=\frac{9-1}{2}=\frac{8}{2}=4](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3D%5Cfrac%7B9-1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B8%7D%7B2%7D%3D4)
![x_2=\frac{9+1}{2}=\frac{10}{2}=5](https://tex.z-dn.net/?f=x_2%3D%5Cfrac%7B9%2B1%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B10%7D%7B2%7D%3D5)
1) При х₁ = 4 получается дробь 2/4, у которой если от числителя вычесть 2, то данная дробь превратится в 0, значит, х₁=4 не удовлетворяет условию.
2) При х₂ = 5 получается дробь 3/5, которая полностью удовлетворяет условию.
Проверка:
![\frac{3}{5}-\frac{3-2}{5+5}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B3-2%7D%7B5%2B5%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
![\frac{3}{5}-\frac{1}{10}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
![\frac{3*2-1}{10}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3%2A2-1%7D%7B10%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
![\frac{5}{10}=\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B5%7D%7B10%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D)
верное равенство.
Ответ: ![\frac{3}{5}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D)
![y= \sqrt{x+12} / x^{2} -1 ](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%5Csqrt%7Bx%2B12%7D+%2F+x%5E%7B2%7D+-1%0A)
В числителе имеется знак корня. Раскрываем. При этом подкоренное выражение не может быть отрицательным:
![\sqrt{x+12} \geq 0 \\ x+12 \geq 0 \\ x \geq -12 ](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Csqrt%7Bx%2B12%7D++%5Cgeq+0+%5C%5C+%0Ax%2B12+%5Cgeq+0+%5C%5C+%0Ax+%5Cgeq+-12%0A)
Знаменатель не может обращаться в нуль:
![x^{2} -1 \neq 0 \\ x \neq +-1](https://tex.z-dn.net/?f=+x%5E%7B2%7D+-1+%5Cneq+0+%5C%5C+%0Ax+%5Cneq+%2B-1)
____-12__________-1______1__________
D(y)=[-12;-1)u(-1;1)u(1;+∞)
p: 3x-y+c=0 x²+y²=4
y=3x+c
Подставим найденное значение для у в уравнение окружности.
x²+(3x+c)²=4
x²+9x²+c²+6cx-4=0
10x²+(6c)x+(c²-4)=0
D=(6c)²-4*10(c²-4)=36c²-40c²+160=-4c²+160
По условию, прямая имеет с окружностью только одну общую точку, значит D=0
-4c²+160=0
4c²=160
c²=40
c=+-√40
c=+-2√10
-2х +8х = - 3
6х=-3
Х=-3:6
Х=-1\2