Question

Два положительных точечных заряда 1,67 и 3,33 нКл закреплены на расстоянии 100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Массой тел пренебречь.

Answer 1

В любой точке указанной прямой за пределами отрезка между зарядами – поля одного и другого зарядов будут однонаправленными, а значит, поле там нигде не обнуляется и не возникает равновесия. Поэтому будем искать только точки между зарядами.

Пусть расстояние от первого заряда Q1 до искомой точки равно x, где:

0 < x < L

тогда поле в искомой точке будет характеризоваться напряжённостью с модулем:

E1 = kQ1/x² ;

Расстояние от данной точки до второго заряда равно L–x , при этом второй заряд находится с противоположной стороны от искомой точки, а значит, поле будет направлено в обратную сторону и будет иметь модуль напряжённости:

E2 = kQ2/(L–x)² ;

Для равновесия необходимо, чтобы противоположно направленные поля E1 и E2 уравновешивали друг друга, т.е. были друг другу равны:

E1 = E2 ;

kQ1/x² = kQ2/(L–x)² ;

x²/Q1 = (L–x)²/Q2 ;

x² Q2/Q1 – (L–x)² = 0 ;

( x √[Q2/Q1] + L – x ) ( x √[Q2/Q1] – L + x ) = 0 ;

( L – x ( 1 – √[Q2/Q1] ) ) ( x √[Q2/Q1] – L + x ) = 0 ;

0 < x < L , так что:

x – x √[Q2/Q1] < L ;

- x ( 1 – √[Q2/Q1] ) > –L ;

L - x ( 1 – √[Q2/Q1] ) > 0 ;

В итоге, просто:

x √[Q2/Q1] – L + x = 0 ;

x ( 1 + √[Q2/Q1] ) = L ;

x = L / ( 1 + √[Q2/Q1] ) ;

x ≈ 100 / ( 1 + √[3.33/1.67] ) ≈ 41.5 см .

Точка, где третий заряд будет находиться в равновесии, независимо от его знака и величины заряда – т.е. точка, где общее поле двух исходных зарядов станет равным нулю – будет находиться в 41.5 см от малого заряда и в 58.5 см от большого.