1). 1 - cos(п+x) + sin (п/2 + x/2) = 0, я полагаю?
Упрощаем:
1 + cos(x) + cos (x/2) = 0
По формуле двойного угла:
1 + (2cos(квадрат) (x/2) - 1) + cos (x/2) = 0
2cos(квадрат) (x/2) + cos (x/2) = 0
Отсюда:
а) cos (x/2) = 0
x/2 = п/2 + пk, k - целое
x = п + 2пk, т. е. {...-5п, -3п, -п, п, 3п, 5п... }.
б) cos (x/2) = -1/2
x/2 = 2п/3 + 2пk и -2п/3 + 2пk, k - целое
x = 4п/3 + 4пk, т. е. {...-20п/3, -8п/3, 4п/3, 16п/3...},
и -4п/3 + 4пk, т. е. {... -16п/3, -4п/3, 8п/3, 20п/3...}.
Ответом будут все три решения: x = {п + 2пk, 4п/3 + 4пk, -4п/3 + 4пk}. Проверено Маткадом =)
2). 2sin3x = 1.
sin3x = 1/2.
3x = п/6 + 2пk и 5п/6 + 2пk.
x = п/18 + 2пk/3 и 5п/18 + 2пk/3. Проверено Маткадом.
3). sin5x + sinx + 2sin(квадрат) x = 1.
Сумма синусов равна два синуса полусуммы на косинус полуразности.
2sin3x cos2x + 2sin(квадрат) x = 1.
Благодаря формуле косинуса двойного угла:
2sin3x cos2x = cos2x.
а) cos2x = 0
2x = п/2 + пk
x = п/4 + пk/2.
б) 2sin3x = 1
x = п/18 + 2пk/3 и 5п/18 + 2пk/3. (см. задание 2)
Итого три группы решений. Проверено Маткадом.
4). 5sin3х - 2соs3х = 0.
Делим на cos3x, который не должен быть равен нулю.
5tg3x - 2 = 0.
tg3x = 2/5
3x = arctg(2/5) + пk (понятное дело, при этих значениях cos3x не обнуляется, значит, всё в порядке)
x = arctg(2/5)/3 + пk/3.
К слову, arctg(2/5) - это примерно 21,8 градуса. Результат совпадает с Маткадовским.
5). соs(квадрат) х + sinх соsх = 1
Преобразуем с помощью основного тригонометрического тождества:
sinх соsх = sin(квадрат) х.
Отсюда:
а) sinх = 0
x = пk.
б) cosx = sinx
tgx = 1
x = п/4 + пk.
<span>Это два набора решений. Проверено Маткадом.</span>
<u>Число кратно десяти, если последняя его цифра равна нулю.</u>
Составляем четырёхзначные числа, кратные 10-ти.
* * * *
Всего имеем 10 цифр: 0,1,2,3,...,8, 9
На место тысяч можно поставить любую из девяти цифр( все, кроме нуля)
На место сотен и десятков ставим любую из десяти цифр.
На место единиц ставим только одну цифру - ноль.
<span>Перемножаем полученные варианты. </span>
Получаем
9*10*10*1=900 чисел кратных десяти
Нашей целью является нахождение точки, являющейся пересечением серединного перпендикуляра к отрезку АВ и оси Ох.
А(-1;5) и В(7;-3)
1) Находим координату середины отрезка АВ:
2) Находим направленный вектор прямой АВ:
s={7-(-1);-3-5}
s={8;-8}
3) Находим нормаль к прямой АВ:
n={-(-8);8}
n={8;8}
Сократим координаты на число 8, получим координаты нормали:
n={1;1}
4) Составим уравнение серединного перпендикуляра к прямой АВ:
(x-3)/1 = (y-1)/1
x-3=y-1
x-y-2=0
5) По условию, искомая точка лежит на оси Ох, значит ордината этой
токи равна нулю. Ищем абсциссу:
х-0-2=0
х=2
Итак, точка (2;0) - искомая
Применены свойства равнобедренного и равностороннего треугольников, определение синуса, свойство катета против угла в 30 градусов
4.1.77.
Прямая y =kx проходит через точку A (2 ; 2) (точка пересечения y =2 и y =3x -4) , если 2 =k*2; т.е. при k =1 (первая "встреча" с ломанной)
При возрастания углового коэффициента k до 3 (пока график y=kx не станет параллельной y = 3x-4) прямая y=kx ломанную пересекает в двух точках: одна на средней части (y=2) , другая правую часть (y =3x -4).
Следовательно :
1<k<3.
4.1.78. {y =1 ;y=2x-5.
A(3;1) .
y =kx ; 1=k*3 ⇒ k=1/3.
1/3<k<2.
4.1.79.
y = - 2x² +px - 50 = -2(x - p/4)² +p²/8 -50 ;
Эта парабола будет касаться оси x, если p²/8 -50 =0 ⇒p =(+/-)10√2 .
p₁ = - 10 ;
p₂ = 10 .
Точки касания A (-2,5√2 ;0) [ x₁ =p₁/4 = - 2,5 ; y=0 и
B (2,5√2;0) [ x₂ =p₂ /4 = 2,5 ;y=0 ] .