1) вариант.
Наибольший или наименьший корень данного уравнения равен: (a-4)
Пусть наибольший или наименьший корень в квадратном трехчлене равен a-m ,тогда второй корень равен m (согласно теореме Виета).
Тогда наибольшее расстояние между корнями равно:
| a-4 -(a-m)| >=9
|m-4|>=9
m-4>=9
m-4<=-9
m>=13 (при a-4>=m>=a-m )
m<=-5 (при a-4<=m<=a-m)
То есть уравнение:
m^2-am+4a-17=0
Должно при некоторых a иметь корень m>=13 при условии что:
a-4>=m>=a-m a-4>=m>=a/2
Ветви параболы идут вверх , а корень m>=a/2 лежит правее чем вершина параболы a/2, значит условием того что у уравнения есть корень m>=13 , то что f(13)<=0 (что автоматически дает условие D>=0)
169-13a+4a-17<=0
9a>=152
a>=17 (тк a натуральное число).
Для таких a верно что: a-4>a/2 (правее вершины параболы )
тк m>=a-4
Поэтому ,так же должно быть справедливо условие f(a-4)>=0
(a-4)^2-a*(a-4) +4a-17>=0
a^2-8a+16-a^2+4a+4a-17>=0
-1>=0 ( такое невозможно искомый случай отпадает)
Разберем случай когда:
m<=-5 (при a-4<=m<=a-m)
m<=a/2 (находится левее вершины параболы)
Поэтому тк m<=-5 Условие: f(-5)<=0
25+5a+4a-17<0
9a<=-8
a<0 (этот случай нам не подходит)
2) Случай когда ,наибольшее и наименьшее значение лежит внутри квадратного трехчлена. a-m>=a-4>=m.
m<=a/2 ; m<=a-4 ; m<=4 ;
тк m<=a/2 левее вершины:
f(a-4)<=0 (-1<0) это условие выполнено)
f(4)<=0
16-4a+4a-17<0 (условие так же выполнено)
Тогда осталось выполнить условие (разность корней больше или равна 9) (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2= a^2-4*(4a-17)>=81
a^2-16a-13>=0
D=308
a∈[(16+sqrt(308))/2;+ беск ] (тк мы рассматриваем для a>0)
17>(16+sqrt(308))/2>16 ,значит минимальное натуральное a=17.
Если подставить a=17 , можно проверить что наибольшая разница больше 9.
Ответ: a=17
