Первым делом раскладываем как разность квадратов, получается: (син^2 = синус в квадрате, везде надо еще приписывать альфу. я не пишу, поскольку рассматривается только один угол. кос2 = косинус двух альфа, косинус двойного угла)
(син^2-кос^2)(син^2+кос^2)
Основная тригонометрическая формула: син^2+кос^2 = 1
син^2-кос^2
По формуле для тангенса двойного угла, находим тангенс альфа:
танг = (2 * 1/2)/(1 - (1/2)^2) = 1/(1-1/4) = 4/3
Как следствие из основного тригонометрического равенства:
1+танг^2 = 1/кос^2
кос^2 = 1/(1+16/9) = 1/(25/9) = 9/25
син^2 = 1 - 9/25 = 16/25
Поскольку син^4 - кос^4 превратилось в син^2 - кос^2, получается:
16/25 - 9/25 = 7/25
<span>Ответ: 7/25
</span>
№1 все двойные углы распиши.
cos2x=1-2sin(2)x =>
1+sinx*(1-2sin(2)x)=sinx+(1-2sin(2)x) ; расскроем скобки = 1+sinx-2sin(3)x=sinx+1-2sin(2)x
Все в одну сторону:
1+sinx-2sin(3)x - sinx - 1 +2sin(2)x=0 (однерки и синусы сокращаются и остается это):
-2sin(3)x+2sin(2)x=0 (-2sin(2)x вынесем за скобки)
-2sin(2)x*(-1+sinx)=0
от суда следует что
-2sin(2)x=0 и -1+sinx=0
1)-2sin(2)x=0 =>
sin(2)x=0
2x=nk, n принадлежит z
x=nk/2 n принадлежит z
2)-1+sinx=0
sinx=1 n принадлежит z
№2 дели все на cos4x
получится
tg4x=0
4x= -arctg4+пk, n принадлежит z (/4)
x= -arctg4/4 + nk/4, n приналежит z
№3 типично. разложи синус2х и подели на косинус в квадрате икс. т.е.
3cos(2)x - 2*sinx*cosx-sin(2)x =0 :cos(2)x получится
3 - 2tgx - tg(2)x=0 умножим на -1 чтобы поменять знаки.
tg(2)x+2tgx-3=0 tgx = a
a(2)+2a-3=0 (теорема виета)
а1= -3
а2= 1
tgx=1
x= - arc tg п/4+ nk
tgx=4
x= -arc tg 4 + nk
Надеюсь все понятно :D
то что в скобках это квадрат.
850 сантиметров первоначальный размер листа
![\sqrt{x-3} -x+5\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%20-x%2B5%5C%20%5Ctextless%20%5C%200)
Рассмотрим функцию
![f(x)=\sqrt{x-3} -x+5](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Csqrt%7Bx-3%7D%20-x%2B5)
Область определения: подкорённое выражение должен быть неотрицательным, тоесть:
![x-3 \geq 0\\ x \geq 3](https://tex.z-dn.net/?f=x-3%20%5Cgeq%200%5C%5C%20x%20%5Cgeq%203%20%20)
D(f) = [3;+∞)
Приравниваем функцию к нулю
![f(x)=0;](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D0%3B)
![\sqrt{x-3} -x+5=0\\ \sqrt{x-3}=x-5](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7Bx-3%7D%20-x%2B5%3D0%5C%5C%20%5Csqrt%7Bx-3%7D%3Dx-5)
Возведём обе части до квадрата
![(\sqrt{x-3})^2=(x-5)^2](https://tex.z-dn.net/?f=%28%5Csqrt%7Bx-3%7D%29%5E2%3D%28x-5%29%5E2)
Воспользуемся свойством степеней:
![( \sqrt{x} )^2=x](https://tex.z-dn.net/?f=%28%20%5Csqrt%7Bx%7D%20%29%5E2%3Dx)
, тоесть:
![x-3=x^2-10x+25\\ x^2-11x+28=0](https://tex.z-dn.net/?f=x-3%3Dx%5E2-10x%2B25%5C%5C%20x%5E2-11x%2B28%3D0)
Найдём дискриминант
![D=b^2-4ac=(-11)^2-4\cdot1\cdot28=9;\\ \sqrt{D} =3](https://tex.z-dn.net/?f=D%3Db%5E2-4ac%3D%28-11%29%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot28%3D9%3B%5C%5C%20%5Csqrt%7BD%7D%20%3D3)
D>0, значит уравнение имеет 2 корня
Найдём решение неравенства.
Введём на промежуток сначала область определения функции, а потом нули функции
[3]__+___(4)___+___(7)____-___>
Определение знаков:
Пусть x=8, тогда, подставив в функцию вместо х, получаем
![\sqrt{8-3} -8+5=-3+ \sqrt{5}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Csqrt%7B8-3%7D%20-8%2B5%3D-3%2B%20%5Csqrt%7B5%7D%20)
Видим что число отрицательное, значит на промежутке (-7;+∞) будет знак МИНУС, дальше знаки меняются
Ответ:
![x \in (7;+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=x%20%5Cin%20%287%3B%2B%5Cinfty%29)
Для квадратного трехчлена
![ax^2+bx+c](https://tex.z-dn.net/?f=ax%5E2%2Bbx%2Bc)
есть формула:
![ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)](https://tex.z-dn.net/?f=ax%5E2%2Bbx%2Bc%3Da%28x-x_1%29%28x-x_2%29)
, где
![x_1;\ x_2](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%3B%5C+x_2)
- корни данного квадратного уравнения.
![3x^2-4x+1=0 \\D=16-12=4=2^2 \\x_1= \frac{4+2}{6}=1 \\x_2= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=3x%5E2-4x%2B1%3D0%0A%5C%5CD%3D16-12%3D4%3D2%5E2%0A%5C%5Cx_1%3D+%5Cfrac%7B4%2B2%7D%7B6%7D%3D1%0A%5C%5Cx_2%3D+%5Cfrac%7B2%7D%7B6%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D++)
теперь раскладываем:
![3x^2-4x+1=3(x-1)(x-\frac{1}{3})=(x-1)(3x-1)](https://tex.z-dn.net/?f=3x%5E2-4x%2B1%3D3%28x-1%29%28x-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%29%3D%28x-1%29%283x-1%29)