Question

Найдите пожалуйста наименьшее и наибольшее значение функции

Answer 1

Находим производную
$y`=( \frac{ x^{2} +4}{x})`=[( \frac{u}{v})`= \frac{u`\cdot v-u\cdot v`}{v ^{2} } ]= \frac{( x^{2} +4)`\cdot x-( x^{2} +4)\cdot x`}{ x^{2} }= \frac{ 2x \cdot x-( x^{2} +4)\cdot 1}{ x^{2} }= \\ = \frac{ x^{2} - 4}{ x^{2} }$
Приравниваем производную к нулю. Знаменатель не должен равняться 0, приравниваем числитель
х²-4=0
х=-2    и х =2 - точки возможного экстремума.
Так как точка 2∉[-4;-1]
То исследуем на экстремум точку х=-2
[-4]-------(-2)-----[-1]

при х=-3  у`=(-3)²-4/(-3)²>0
при х=-1,5    y`=(-1,5)²-4/(-1,5)²<0
Производная меняет знак с + на -
х=-2 - максимум
f(-2)=((-2)²+4)/(-2)=8/(-2)=-4
при х=-4
f(-4)=((-4)²+4)/(-4)=(20)/(-4)=-5
при х=-1
f(-1)=((-1)²+4)/(-1)=-5
Наибольшее значение в точке х=-2 равно -4
Наименьшее значение на концах отрезка в точках х=-4 и х=-1 равно -5