Question

Найти решение дифференциальногo уравнения при известных начальных условиях (задача Коши). y''-100y=0 y(0)=0 y'(0)=15

Answer 1

Составим и решим характеристическое уравнение:
${\lambda}^2-100=0$
$(\lambda+10)(\lambda-10)=0$
$\lambda_1=-10$   $\lambda_2=10$
Общее решение:
$y=C_1e^{-10x}+C_2e^{10x}$  где $C_1,C_2$ - константы.
Используем начальное условие y(0)=0 :
$y(0)=C_1e^0 +C_2e^0=C_1+C_2$
Согласно начальному условию, получаем первое уравнение :
$y(0)=C_1+C_2=0 =>C_1+C_2=0$
Берем общее решение, и находим производную:
$y'=(C_1e^{-10x}+C_2e^{10x})=-10C_1e^{-10x}+10C_2e^{10x}$
Используем второе начальное условие y'(0)=15 :
$y'(0)=-10C_1+10C_2$
Согласно второму начальному условию, находим второе уравнение:
$y'(0)=-10C_1+10C_2=>-10C_1+10C_2=15$
Составим и решим систему из двух найденных уравнений:
$\left \{ {{C_1+C_2=0} \atop {-10C_1+10C_2=15}} \right.$

$\left \{ {{-10C_1+10C_2=15} \atop {C_1+C_2=0}} \right.$

$\left \{ {{-10C_1+10C_2=15} \atop {2C_2=\frac{3}{2}}} \right.$

$\left \{ {{-2C_1+2C_1=3} \atop {2C_2=\frac{3}{2}}} \right.$

$\left \{ {{-2C_1=\frac{3}{2}} \atop {C_2=\frac{3}{4}}} \right.$

$\left \{ {{C_1=-\frac{3}{4}} \atop {C_2=\frac{3}{4}}} \right.$
Подставим найденные значения в общее решение:

$y=-\frac{3}{4}e^{-10x}+\frac{3}{4}e^{10x}$
Ответ: частное решение :
$y=-\frac{3}{4}e^{-10x}+\frac{3}{4}e^{10x}$