Сербский – это славянский язык, который похож на русский. Русскоговорящему человеку несложно выучить другой славянский язык, это можно сдедать даже за несколько месяцев до очень неплохого разговорного уровня. В этом большое преимущество родственных языков. Но необходима соответствующая мотивация, практика и конечно же время.
<hr />
Без грамматики не обойтись даже в этом случае (можно учить полностью на практике, но это всё же сложнее и дольше). Возьмите какую-нибудь книгу, например "Сербский с 0". С аудио и упражнениями, где объясняются базовые правила языка. Выполняйте всё. (Не нужно брать учебники, рассчитанные на несколько лет обучения, для студентов-славистов или какие-нибудь в этом роде. Они могут быть хорошими, но для лингвистов/филологов<wbr />, и быстро по ним не выучить). Поищите также какой-нибудь учебный аудиокурс (не могу посоветовать в данный момент, но точно знаю, что есть аудиокурсы сербского, очень неплохие). Слушайте постоянно (например, когда едете в транспорте или в машине).
Когда закончится курс, слушайте подкасты, смотрите какие-нибудь видео на сербском, блогеров на Youtube. Благо, Интернет сейчас не проблема. Можете зарегистрироваться на каком-нибудь сербском форуме по интересующей вас теме и пытаться общаться там (но уже необходимо знать какие-то основы языка).
Побольше практики. В идеале найдите себе собеседника/ков. Если есть знакомые сербы - замечательно. Причём пытайтесь общаться ТОЛЬКО НА СЕРБСКОМ. Лучше, чтобы русский они не знали и не учили (бывает, иногда на форумах ищут языковой обмен а-ля "ты мне, я тебе". Т.е. вы учите язык того человека, а тот человек учит ваш. В этом случае вы будете общаться не понятно на каком языке.) Лучше, пытаться общаться только по-сербски. Если вам что-то не понятно, ищите слова в словарях, САМИ, просите сформулировать по-другому. В общем решайте проблему средствами языка, тогда выучите максимально быстро.
Поехать в Сербию на какое-то время тоже не самый плохой вариант. Среда конечно же поможет. При этом старайтесь побольше общаться с разными людьми, а не просто гулять по улицам. Насколько я знаю, в Сербии есть языковые школы, можете записаться на эти курсы, это будет очень эффективно.