Question

Помогите решить параметр. Условие: при каких значениях параметра a система имеет 3 решения. Соображения есть, но дальше не знаю как делать

Answer 1

При каких значениях параметра a система 
{x(x² +y² -y -2) =| x | (y -2) =0 ; y =x + a  имеет 3 решения .
-----------------------------
 x≠ 0  , т.к. , если  x=0 ⇒ y = a  ( одно решения )_ не удовлетворяет .
---
1) x >0    первое уравнение системы принимает вид :
x² +y² -y -2 = y - 2  ⇔ x² +(y-1)² =1²  полуокружность (x >0) с центром  A(0;1) и  радиусом  r = 1 .
2) 1) x < 0 → x² +y² -y -2 = -(y - 2)  ⇔ x² +y² =2²  полуокружность (x <0) с центром  B(0;0) и  радиусом R = 2  , R=2r .  
---
Прямая  y =x+a (параллельна y =x  т.е. оставляет с осью ox угол = 45°) 
при  a >0  пересекает эти полуокружности максимум по одной точке ,т.е. максимум 2 решения ,а если  r - a =√(r²+r²) ⇔ a = r - r√2 =1- √2  касается полуокружность  x² +(y-1)² =1² .   
 
Если  1- √2 < a < 0   прямая y =x+a  пересекает  полуокружность x² +(y-1)² =1²   в двух точках  и  полуокружность  x² +y² =2²  в одной точке .

ответ :  a ∈ (1- √2;  0 ) .