Question

Докажите , что каждое из выражений (a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3) и (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3) тождественно равно выражению a^4-b^4.

Answer 1

Докажем, что

$(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)\\\\ (a+b)((a^3-b^3)-(a^2b-ab^2))=(a-b)((a^3+b^3)+(a^2b+ab^2))\\\\ (a+b)((a-b)(a^2+ab+b^2)-ab(a-b))=\\(a-b)((a+b)(a^2-ab+b^2)+ab(a+b))\\\\ (a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2-ab)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2+ab)\\\\ (a+b)(a-b)(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)\\\\ (a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$


Теперь докажем, что

$(a^2-b^2)(a^2+b^2)=a^4-b^4$

$(a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a^2)^2-(b^2)^2\\\\ (a^2-b^2)(a^2+b^2)=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$

Если свернуть обе части, то  получим:

$a^4-b^4=a^4-b^4$