Причин, конечно, может быть несколько, включая такой мощный и всегда бывший фактор, как мода.
Тем не менее, попробую ответить.
Именно широкополая шляпа, помимо защиты от дождя и солнца, защищала от нечистот, которые в европейских городах, вроде бы, было принято выливать прямо в окно в вечернее время, начиная с определенных часов.
Вот шляпа с полями защищала лицо и одежду в случае попадания в вечернего прохожего такого потока из окна.
Ну а трость... они были в моде и в более раннее время. С тростью куда меньше определенности, тут придется гадать.
Предположу, что помимо опоры, трость могла использоваться для прощупывания дороги в темноте... и в плохую погоду, если улицы залиты водой и грязью.
Можно предположить, что трость была и оружием самозащиты - но это уже свойственно веку 19-му.
В
дворянство таскает шпаги и ранее - рапиры, больше того - именно в веке 16-м возникает и активно развивается фехтование, именно как городское (не военное) боевое искусство.
Так что трость эту функцию вряд ли выполняла, за ненадобностью.
А вот джентльмены на иллюстрациях в вопросе, кстати, вполне могли носить трости и для самозащиты. Ибо это фото как раз примерно век на 19-й, причем первый джентльмен - наверное, ближе к концу столетия или даже из начала 20 века...
Как-то так.