Question

СООЧНО!!!!!! Даю 35 баллов!!!! Решить методом графов
1) Несколько приборов соеденены проводами при этом от каждого прибора отходит ровно 5 проводов. Может ли быть ровно 33 провода междуприборами?
2) в метро построено 15 станций между некоторыми из них проходят пути. Может ли быть так, чтобы было 4 станции, соединённых с 5 другими; 6 станций, соединённых с 4 другими; и 5 станций, каждая из которых соединена с 3 другими?
3) в стране 17 областей. Может ли быть так, что у каждой области 1,3 или 5 соседних областей.
4) докажите, что число людей в любой компании, дружащих с нечетным числом людей из этой компании, четно.
Заранее спасибо :):):)

Answer 1

1. Пусть приборов n. Тогда проводов 5n/2, так как каждый провод считается дважды. (прибор - вершина графа, провод - ребро). Следовательно, число проводов делится на 5 и поэтому не может равняться 33.
2. Станция -вершина, путь -ребро. У нас нечетное число (4+5=9) вершин, соединенных с нечетным числом вершин, чего не может быть (см 4-ю задачу)  
3. Область - вершина, ребро между вершинами - если области имеют общую границу. 1, 3 и 5 - нечетные числа, 17 -нечетное число. Далее - как в задаче 4.
4. Люди - вершины, ребра -между вершинами, которые дружат друг с другом.  Суммируя числа ребер, выходящих из вершин, мы должны получившееся число поделить на два, так как каждое ребро было сосчитано дважды. Если бы число вершин, из которых выходит нечетное число ребер, было нечетно, то на два поделить не удалось бы.