Question

Помогите решить логарифмическое неравенство, очень нужно

Answer 1

$\log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\ge-4$


Область определения неравенства: $1)\ 5-x>0,\\x<5;\\\\2) \ 5-x\ne 1\\x\ne4;\\\\3)\ \frac{x+2}{(x-5)^4}>0,\\x+2>0,\\x>-2;\\\\4)\ (x-5)^4\ne0,\\x\ne5.$

$\log_{5-x}\frac{x+2}{(x-5)^4}\ge-4,\\\\1)\ 0<5-x<1,\ \ 4<x<5\\\\\left \{ {{\frac{x+2}{(x-5^4)}\le(5-x)^{-4}} \atop {\frac{x+2}{(x-5)^4}>0}} \right.,\ \left \{ {{\frac{x+2}{(x-5^4)}-\frac{1}{(-(x-5))^4}\le0} \atop {x+2>0}} \right.,\ \left \{ {{x+2-1\le0} \atop {x>-2}} \right. ,\ \ -2< x\le-1$
— не удовлетворяет $(*)\to$ нет корней.

$2)\ 5-x>1,\ x<4\ (**),\\\frac{x+2}{(x-5)^4}\ge (5-x)^{-4},\\x\ge-1$

C учётом $(**):\ \left \{ {{x<4} \atop {x\ge-1}} \right. ,\ -1\le x<4.$

Отбор корней согласно области определения:   $\left \{ {{x<5,\ x\ne4,\ x>-2,\ x\ne5} \atop {-1\le x<4}} \right. ,\ \ \  -1\le x<4.$

Ответ:  $x\in[-1;\ 4).$