Question

Через точку пересечения окружности и биссектрисы вписанного в нее угла проведена хорда, параллельная стороне этого угла. Докажите, что проведенная хорда равна хорде другой стороны угла.

Answer 1

Смотрим картинго:
окружность, вписанный угол АОВ, ОМ - биссектриса, МС || ОВ
Нужно доказать, что МС=ОА
∠СМО=∠ВОМ, как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей, значит  ∠СМО=∠АОМ, т.к. ОМ - биссектриса.
∠ОСМ=∠МАО, как опирающиеся на одну и ту же дугу ОВМ.
Таким образом в ΔОСМ и ΔМАО ∠СОМ=∠АМО, так как два других угла  ΔОСМ равны двум другим углам  ΔМАО. ОМ - общая сторона этих Δ-ков,
значит  ΔОСМ=ΔМАО по второму признаку равенства Δ-ков и МС=ОА
ЧТД