Question

При каком натуральном значении a уравнение x^3-3x+2-a=0 имеет ровно два корня???

Answer 1

Уравнение с полиномом третьей степени всегда имеет точно три корня. Либо они все три действительные, либо один действительный, а два других комплексно-сопряженные... Поэтому ответ - никогда! Но допустим, что вопрос сформулирован некорректно, и имелось в виду, что два из трех действительных корней совпадают по значению. Проанализируем этот вариант.
Известно, что для кубического уравнения вида $ax^3+bx^2+cx+d=0$ существует понятие дискриминанта, который вычисляется по следующей формуле:
$\Delta=-4B^3D+B^2C^2-4AC^3+18ABCD-27A^2D^2$
В нашем случае A=1, B=0, C=-3, D=2-a, тогда $\Delta=-4AC^3-27A^2D^2$
Подставив значения получим $\Delta=4*27-27(2-a)^2 \\ \Delta=27(4-(2-a)^2)$
условием совпадения двух корней является условие $\Delta=0$, что приводит нас к уравнению 27(4-(2-a)²)=0 ⇒ 4-(2-a)²=0; 4=(2-a)²
$(2-a)^2=4 \\ \pm(2-a)=2 \\ a_1=0, a_2=4$