Question

Не решая уравнения x2 + 3x – 1 = 0 (пусть его корни равны x1 и x2), составьте новое квадратное уравнение, корни которого:
а) противоположны корням данного уравнения
б) обратны корням данного уравнения
в) равны квадратам корней данного уравнения
г) равны удвоенным кубам корней данного уравнения
д*) равны шестым степеням корней данного уравнения

Answer 1

$x^2+3x-1=0\quad \Rightarrow \quad \left \{ {{x_1\cdot x_2=-1} \atop {x_1+x_2=-3}} \right. \\\\1)\; \; korni:\; \; t_1=-x_1\; ,\; \; t_2=-x_2\\\\t_1\cdot t_2=(-x_1)\cdot (-x_2)=x_1\cdot x_2=-1\\\\t_1+t_2=-(x_1+x_2)=-(-3)=3\\\\t^2-3t-1=0\\\\2)\; \; t_1= \frac{1}{x_1}\; ,\; \; t_2=\frac{1}{x_2}\\\\t_1\cdot t_2=\frac{1}{x_1}\cdot \frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_1\cdot x_2}=\frac{1}{-1}=-1\\\\t_1+t_2=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}= \frac{x_1+x_2}{x_1\cdot x_2}=\frac{-3}{-1}=3\\\\t^2-3t-1=0$

$3)\; \; t_1=x_1^2\; ,\; \; t_2=x_2^2\\\\t_1\cdot t_2=x_1^2\cdot x_2^2=(x_1\cdot x_2)^2=(-1)^2=1\\\\t_1+t_2=x_1^2+x_2^2=\underbrace {(x_1+x_2)^2}_{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2}-2x_1x_2=(-3)^2-2\cdot (-1)=11\\\\t^2-11t+1=0$

$4)\; \; t_1=2x_1^3\; ,\; \; t_2=2x_2^3\\\\t_1\cdot t_2=2x_1^3\cdot 2x_2^3=4\cdot (x_1\cdot x_2)^3=4\cdot (-1)^3=-4\\\\t_1+t_2=2x_1^3+2x_2^3=2(x_1^3+x_2^3)=2(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)=\\\\=2\cdot (-3)\cdot (\underbrace {x_1^2+x_2^2}_{11}-\underbrace {x_1x_2}_{-1})=-6\cdot (11-(-1))=-6\cdot 12=-72\\\\t^2+72t-4=0$

$5)\; \; t_1=x_1^6\; ,\; \; t_2=x_2^6\\\\t_1\cdot t_2=x_1^6\cdot x_2^6=(x_1x_2)^6=(-1)^6=1\\\\t_1+t_2=x_1^6+x_2^6=(x_1^2)^3+(x_2^2)^3=\\\\=(x_1^2+x_2^2)(x_1^4-x_1^2x_2^2+x_2^4)=11\cdot (x_1^4+x_2^4-\underbrace {x_1x_2}_{-1})=\\\\\\\star \; \; x_1^4+x_2^4=\underbrace {(x_1^2+x_2^2)^2}_{x_1^4+2x_1^2x_2^2+x_2^4}-2x_1^2x_2^2=11^2-2\cdot (-1)^2=121-2=119\; \star \\\\\\=11\cdot (119+1)=11\cdot 120=1320\\\\\\t^2-1320\, t+1=0$