Фактически это задача на отыскание длин катетов и гипотенузы, если известен один из катетов. Длины катетов А и В, длина гипотенузы С. Если известна величина А, надо найти В и С, или если известна величина В, надо найти А и С. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем
А² + В² = С² (1)
Но из этого уравнения трудно найти В и С, если известна величина А, или найти А и С, если мы знаем величину катета В. Уравнение (1) – это уравнение с двумя неизвестными. Приходится очень долго подбирать две неизвестные, чтобы удовлетворить уравнению (1) Но в математике известно, что А, В и С можно вычислить по следующим уравнениям:
А = 2mn, B = m² – n², C = m² + n² (2)
где m и n – целые числа. То есть вместо трех величин А, В и С в (1) имеем только 2 величины m и n в (2). Например, если задана величина А или В, то из (2) можно выразить m через n или n через m. Отметим, что А – число четное, а В может быть как четным, так и нечетным. Пусть мы знаем число В, тогда B = m² – n². Каков общий метод решения? Надо подбирать числа n и вычислять число m. Начинать надо с самого маленького числа n = 1. Зная m и n по формулам (2) находим А и С. Достаточно просто.
Пусть n = 1. Тогда уравнения (2) упрощаются
А = 2m, В = m² – 1, С = m² + 1 (3)
Например, для хорошо известного греческого треугольника А = 4, В = 3 и С = 5. Можно проверить уравнение (1) 4² + 3² = 5². 16 + 9 = 25. Как видно из уравнения (3) А – число четное, В – нечетное. Решим уравнение (3) в общем виде.
1) Если мы знаем величину А. Тогда из (3) находим m = А/2,
В = А²/4 – 1, С = А²/4 + 1 (4)
2) Пусть мы знаем В. Тогда из (3) имеем m² = В + 1, m = √(В + 1). Уравнения (3) приобретают вид
А = 2√(В + 1) и С = В + 2 (5)
Рассмотрим некоторые примеры.
3) Пусть В = 3 (число нечетное). Из (5) находим А = 2√(3 + 1) = 4 и С = 3 + 2 = 5. Это упомянутый выше греческий треугольник. Проверим
4² + 3² = 5² (6)
4) Пусть А = 4 (число четное), тогда А²/4 = 4. Из (4) находим В = 4 – 1 = 3 и С = 4 + 1 = 5. Это тот же греческий треугольник. Проверим 3² + 4² = 5². То же самое уравнение (6)
5) Рассмотрим число 5. Оно нечетное, значит это число В = 5. Из (5) находим А = 2√6 – то есть А не натуральное число, но С = 5 + 2 = 7. Проверим уравнение (1) 4×6 + 25 = 49. Уравнение (1) выполняется. Но по условию задачи оба катета и гипотенуза должны быть натуральными (целыми) числами.
Но для В = 5 выражение B = m² – n² из уравнения (2) допускает кроме n = 1 еще такое решение: 5 = 3² – 2² = 9 – 4. То есть m = 3 и n = 2. Тогда из уравнений (2) получаем А = 2mn = 12, С = m² + n² = 9 + 4 = 13. И уравнение (1) приобретает вид
12² + 5² = 13² (7)
То есть 144 + 25 = 169. Все правильно.
6) Рассмотрим число 238. Это число четное. Тогда мы имеем А = 238. Из уравнения (2) А = 2mn. Причем m > n. Итак мы имеем mn = 119. Надо разложить число 119 на множители. 119 = 119 × 1. Других разложений нет. Отсюда следует решение m = 119, n = 1. Из уравнения (2) находим B = m² – n² = 119² – 1 = 14161 – 1 = 14160. C = m² + n² = 119² + 1 =14162. Проверим уравнение (1). 238² + 14160² = 14162². Или 56644 + 200505600 = 200562244. Правильно. Итак, имеем
238² + 14160² = 14162² (8)
7) Рассмотрим число 228. Это число четное. Тогда мы имеем А = 228. Из уравнения (2) А = 2mn. Или 114 = mn. Причем m > n. Надо разложить число 114 на множители m и n. 114 = 57 × 2 = 38 × 3 = 19 × 6 = 114 × 1. То есть, имеем 4 набора для чисел m и n: a) n = 2, m = 57, b) n = 3, m = 38, c) n = 6, m = 19 и d) n = 1, m = 114. Получим 4 решения:
7а) n = 2, m = 57. Из уравнения (2) получаем B = m² – n² = 57² – 2² = 3249 – 4 = 3245. C = m² + n² = 3249 + 4 = 3253. Проверим уравнение (1). 228² + 3245² = 3253². 51984 + 10530025 = 10582009. Итак, имеем
228² + 3245² = 3253² (9)
7b) n = 3, m = 38. Из (2) получим В = m² – n² = 38² – 3² = 1444 – 9 = 1435. С = m² + n² = 38² + 3² = 1444 + 9 = 1453. Проверим уравнение (1). 228² + 1435² = 1453². 51984 + 2059225 = 2111209. Итак, имеем
228² + 1435² = 1453² (10)
7с) n = 6, m = 19. Из (2) получим В = m² – n² = 19² – 6² = 361 – 36 = 325. С = m² + n² = 19² + 6² = 361 + 36 = 397. Проверим уравнение (1). 228² + 325² = 397². 51984 + 105625 = 157609. Итак, имеем
228² + 325² = 397² (11)
7d) n = 1, m = 114. Из (2) получим В = m² – n² = 114² – 1 = 12996 – 1 = 12995, С = m² + n² = 114² + 1 = 12997. Проверим уравнение (1) 228² + 12995² = 12997². 51984 + 168870025 = 168922009. Итак, имеем
228² + 12995² = 12997² (12)
Итак, при А = 228 мы получили 4 варианта решений (9), (10), (11) и (12).
Итак, имеется несложный путь решения вашей задачи. Надо использовать уравнение (3)
А = 2mn, B = m² – n², C = m² + n² (2)
где оба катета А и В и гипотенуза С выражаются только через 2 параметра m и n. Если известны величины А или В, то из уравнений (2) можно найти зависимости m от n. Так что остается одна неизвестная величина n. Как решать, смотрите примеры.
