Question

Решить, и подробно объяснить как такие уравнения решаются.

Answer 1

Считаем, что автор уже умеет решать простейшие тригонометрические уравнения.
Теперь ему надо выучить, или хотя бы иметь под рукой тригонометрические формулы:
1) Основные - формулы, связывающие функции одного и того же аргумента.
2) Формулы суммы и разности
3) Формулы понижения степени
4) Формулы для функций кратных аргументов
5) Формулы произведения функций
7) Формулы, связывающие все тригонометрические функции с тангенсом половинного угла.
Ну конечно, же не все типы формул используются в конкретном уравнении. Всё это - про запас.
Основная идея таких уравнений, как собирается научиться решать автор, - это сведение всех тригонометрических функций к одному виду и к одному аргументу. В исследуемом уравнении с аргументом ничего делать не нужно, он и так простой - это переменная х. Остается только свести tg x и cos x к какой-то одной функции (например, только к tg или только к sin или только к cos). В этом чаще всего помогают формулы, связывающие функции одного и того же аргумента.
Как известно, $tg\ x=\frac{sin\ x}{cos\ x}$ , подставляем в уравнение:
$2*(\frac{sin\ x}{cos\ x})^2-\frac{7}{cos\ x}+8=0\\ 2*\frac{sin^2 x}{cos^2 x}-\frac{7}{cos\ x}+8=0$
Еще не всё, у нас всё еще 2 вида функций. Применяем основное триг.тож-во:
$sin^2x+cos^2x=1\ => sin^2=1-cos^2x\ =>\\\\ \dfrac{2(1-cos^2x)}{cos^2x}-\dfrac{7}{cos\ x}+8=0$
Всё!!! Теперь все получена одна и та же функция cos и у нее одинаковый аргумент x. Выполнение этих двух требований я считаю основополагающим при решении значительной массы триг.уравнений.
теперь делаем заменку  cos x = t и решаем рациональное уравнение (способы их решений изучаются в 7-9 кл.)
$\dfrac{2(1-t^2)}{t^2}-\dfrac{7}{t}+8=0 \\ \dfrac{2}{t^2}-2-\dfrac{7}{t}+8=0 \\ \dfrac{2}{t^2}-\dfrac{7}{t}+6=0 \\ 6t^2-7t+2=0,\ t \neq0\\ t_1=\frac{1}{2},\ t_2=\frac{2}{3}$
Далее переходим к простейшим тригонометрическим уравнениям:
$cos\ x=\frac{1}{2}$   или   $cos\ x=\frac{2}{3}$
Решив эти уравнения, получаем ответ:
$\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\ \pm arccos \frac{2}{3}+2\pi n;\ k,n \in Z.$