Дано:
![y = \frac{2x^2+1}{x^2}](https://tex.z-dn.net/?f=+y+%3D+%5Cfrac%7B2x%5E2%2B1%7D%7Bx%5E2%7D+)
;
Исследовать функцию и построить график.
Решение:
1) Функция не определена при обращении в ноль знаменателя, т.е. x ≠ 0 .
D(f) ≡ R \ {0} ≡
![( -\infty ; 0 )U( 0 ; +\infty )](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+-%5Cinfty+%3B+0+%29U%28+0+%3B+%2B%5Cinfty+%29+)
;
2) В функции встречаются только чётные степени аргумента, а значит она чётная. Докажем это:
![y(-x) = \frac{ 2(-x)^2 + 1 }{ (-x)^2 } = \frac{2x^2+1}{x^2} = y(x)](https://tex.z-dn.net/?f=+y%28-x%29+%3D+%5Cfrac%7B+2%28-x%29%5E2+%2B+1+%7D%7B+%28-x%29%5E2+%7D+%3D+%5Cfrac%7B2x%5E2%2B1%7D%7Bx%5E2%7D+%3D+y%28x%29+)
;
Найдём первую производную функции y(x) :
![y'(x) = ( \frac{2x^2+1}{x^2} )' = ( \frac{ 2x^2 }{x^2} + \frac{1}{x^2} )' = ( 2 + x^{-2} )' = -2 x^{-3}](https://tex.z-dn.net/?f=+y%27%28x%29+%3D+%28+%5Cfrac%7B2x%5E2%2B1%7D%7Bx%5E2%7D+%29%27+%3D+%28+%5Cfrac%7B+2x%5E2+%7D%7Bx%5E2%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D+%29%27+%3D+%28+2+%2B+x%5E%7B-2%7D+%29%27+%3D+-2+x%5E%7B-3%7D+)
;
![y'(x) = -\frac{2}{x^3}](https://tex.z-dn.net/?f=+y%27%28x%29+%3D+-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D+)
;
При x = 0, производная y'(x) – не определена, как и сама функция, при всех остальных значениях аргумента функция и её первая производная определены и конечны, а значит функция непрерывная на всей области определения D(f) – на всей числовой прямой, кроме ноля.
3) Функция не определена при x = 0 . Это точка разрыва. При этом её значение стремится к положительной бесконечности, что легко доказать:
![\lim_{x \to 0} y(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 + \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = 2 + \infty = +\infty](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D+y%28x%29+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B2x%5E2%2B1%7D%7Bx%5E2%7D+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D+2+%2B+%5Clim_%7Bx+%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D+%3D+2+%2B+%5Cinfty+%3D+%2B%5Cinfty+)
;
Если приравнять функцию к нолю, получим:
![y(x) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+y%28x%29+%3D+0+)
;
![\frac{2x^2+1}{x^2} = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B2x%5E2%2B1%7D%7Bx%5E2%7D+%3D+0+)
;
![2 + \frac{1}{x^2} = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+2+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D+%3D+0+)
;
![( \frac{1}{x} )^2 = -2](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%29%5E2+%3D+-2+)
– что невозможно ни при каких действительных значениях аргумента;
Значит, никаких пересечений графика с осями координат нет.
4. Найдем асимптоты y(x).
По найденному в (3) пределу, ясно, что линия x = 0 – является вертикальной двухсторонней асимптотой графика функции y(x) .
Посмотрим, что происходит с функцией y(x) при устремлении аргумента к ±
![\infty](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cinfty+)
:
![\lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+1}{x^2} = \lim_{x \to \infty} 2 + \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 2 + 0 = 2](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+y%28x%29+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B2x%5E2%2B1%7D%7Bx%5E2%7D+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+2+%2B+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D+%3D+2+%2B+0+%3D+2+)
;
Значит, уходя на бесконечность обоих знаков график функции y(x) имеет двунаправленную горизонтальную асимптоту y = 2 ;
Наклонных асимптот нет, и не может быть, так как есть горизонтальные с обеих сторон.
5. Первая производная функции y(x) :
![y'(x) = -\frac{2}{x^3}](https://tex.z-dn.net/?f=+y%27%28x%29+%3D+-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D+)
– положительна при отрицательных значениях аргумента и отрицательна при положительных х ;
Значит, функция возрастает на
![( -\infty ; 0 )](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+-%5Cinfty+%3B+0+%29+)
и убывает на
![( 0 ; +\infty )](https://tex.z-dn.net/?f=+%28+0+%3B+%2B%5Cinfty+%29+)
;
Уравнение
![y'(x) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+y%27%28x%29+%3D+0+)
т.е.
![y'(x) = -\frac{2}{x^3}](https://tex.z-dn.net/?f=+y%27%28x%29+%3D+-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D+)
– не имеет решений, а значит, у функции нет экстремумов, т.е. конечных локальных минимумов или максимумов.
6. Найдём вторую производную функции y(x) :
![y''(x) = (y'(x))' = ( -\frac{2}{x^3} )' = -2 ( x^{-3} )' = -2*(-3)*x^{-4}](https://tex.z-dn.net/?f=+y%27%27%28x%29+%3D+%28y%27%28x%29%29%27+%3D+%28+-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%5E3%7D+%29%27+%3D+-2+%28+x%5E%7B-3%7D+%29%27+%3D+-2%2A%28-3%29%2Ax%5E%7B-4%7D+)
;
![y''(x) = \frac{6}{x^4} > 0](https://tex.z-dn.net/?f=+y%27%27%28x%29+%3D+%5Cfrac%7B6%7D%7Bx%5E4%7D+%3E+0+)
при любых значениях аргумента ;
В силу общей положительности второй производной – график функции всегда «улыбается», т.е. он вогнут, или, говоря иначе: он закручивается против часовой стрелки на всём своём протяжении при проходе по числовой оси аргументов слева направо.
Поскольку выгнутость повсеместна, то и точек перегиба не может быть. И их нет, соответственно.
7.
При х = ± 1 : : : y(x) = 3 ;
При х = ± 2 : : : y(x) = 3.25 ;
При х = ± 1/2 : : : y(x) = 6 ;
Строим график: