Question

Помогите с полным объяснением tgx+8 \ctg x\+ctg2x=0

Answer 1

tgx+8|ctgx|+ctg2x=0
1)ctgx<0⇒x∈(π/2+πn;π+πn) U (3π/2+πn;2π+πn)
tgx-8ctgx+ctg2x=0
tgx-8/tgx+1/tg2x=0
tgx-8/tgx+(1-tg²x)/2tgx=0
tgx≠0
2tg²x-16+1-tg²x=0
tg²x=15
tgx=-√15⇒x=-arctg√15+πn +ОДЗ⇒x=π/2+arctg√15 U x=3π/2+arctg√15
tgx=√15⇒x=arctg√15+πn∉ОДЗ
2)ctgx>0
2tg²x+16+1-tg²x=0
tg²x=-17 нет решения

Answer 2

$tgx+8|ctgx|+ctg2x=0$
$1)ctgx\ \textless \ 0$
$\frac{1}{ctgx}-8ctgx+\frac{ctg^2x-1}{2ctgx}=0$
$2-16ctg^2x+ctg^2x-1=0$
$-15ctg^2x+1=0$
$ctg^2x=\frac{1}{15}$
$\left[\begin{array}{ccc}ctgx=\frac{1}{\sqrt{15}}(ctgx\ \textless \ 0)\\ctgx=-\frac{1}{\sqrt{15}}\end{array}\right]$
$ctgx=\frac{1}{\sqrt{15}}$
$x=\pi-arcctg(\frac{1}{\sqrt{15}})+\pi n;n\in Z$

$2)ctgx\ \textgreater \ 0$
$\frac{1}{ctgx}+8ctgx+\frac{ctg^2x-1}{2ctgx}=0$
$2+16ctg^2x+ctg^2x-1=0$
$17ctg^2x+1=0$
$ctg^2x=-\frac{1}{17}$

Решений нет.

Ответ: $x=\pi-arcctg(\frac{1}{\sqrt{15}})+\pi n;n\in Z$