Касательного правильного написания слова -безжалостный или -бесжалостный, хочу выразить собственное субъективное мнение. Считаю, что правильное написание этого слова именно- безжалостный.
Данное правописание определяется правилом по поводу букв -з и -с в приставках -без или -бес, а также -из или-ис, -раз или -рас, -воз или-вос и так далее и тому подобное.
Так вот, согласно этому правилу, если после приставки в слове идёт звонкая согласная буква, то пишем-з, то есть приставку -без, а если глухая согласная буква, то следует писать -с, то есть приставку-бес.
В нашем конкретном случае, за приставкой следует буква -ж, которая является звонкой согласной, соответственно, и писать следует именно как - безжалостный.