F(x) = x^2*(x^2 - 4x + 4) = x^4 - 4x^3 + 4x^2
1) Область определения функции (ОДЗ): вся числовая ось (любые х)
2) Область значений функции: y≥0
3) Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. f(x) ≠ f(-x) и f(x)≠ -f(x)
4) Функция непрерывная, т.к. ОДЗ - вся числовая ось.
5) Нули функции: x^2*(x - 2)^2 = 0, x=0, x=2, т.е. (0:0) и (2;0). Функция пересекает ось Оу в точке: (0;0).
6) f '(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 0
x^3 - 3x^2 + 2x = 0, x*(x^2 - 3x + 2) = 0
x1 = 0, x2 = 2, x3 = 1
Производная отрицательна при: х∈(-бесконечность; 0)u(1;2), функция убывает
Производная положительна при: х∈(0;1)u(2;+бесконечность), функция возрастает.
x=0 и x=2 - точки минимума
x=1 - точка изгиба (выпуклость функции)
7) График строится исходя из полученных сведений пп.1)-6), и с добавлением произвольных точек (значение высчитать вручную, устно). График прикреплен.
![\frac{ x^{2} -6x+8}{3x-12}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%20x%5E%7B2%7D%20-6x%2B8%7D%7B3x-12%7D%20)
D=b²-4ac=36-4*1*8=36-32=4>0, 2 корня
x₁=
![\frac{-b+ \sqrt{D} }{2a}= \frac{6+2}{2}= \frac{8}{2}=4](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B-b%2B%20%5Csqrt%7BD%7D%20%7D%7B2a%7D%3D%20%5Cfrac%7B6%2B2%7D%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7B8%7D%7B2%7D%3D4%20%20%20)
x₂=
![\frac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \frac{6-2}{2}=2](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B-b-%20%5Csqrt%7BD%7D%20%7D%7B2a%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B6-2%7D%7B2%7D%3D2%20)
x²-6x+8=(x-4)(x-2)
![\frac{(x-4)(x-2)}{3(x-4)}= \frac{x-2}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%20%5Cfrac%7B%28x-4%29%28x-2%29%7D%7B3%28x-4%29%7D%3D%20%5Cfrac%7Bx-2%7D%7B3%7D%20)
2х² + х - 3 = (х - 1)(2х + 3)