1)Попробуем так , продолжим точку за
![M](https://tex.z-dn.net/?f=M)
, как выглядит на рисунку , так как
![CTA=90а](https://tex.z-dn.net/?f=CTA%3D90%D0%B0)
, то около треугольника можно описать окружность такая что
![AC](https://tex.z-dn.net/?f=AC)
будет диаметром ,
![CK](https://tex.z-dn.net/?f=CK)
биссектриса ,то
![TCG=GCA](https://tex.z-dn.net/?f=TCG%3DGCA)
, прямоугольник
![AGCE](https://tex.z-dn.net/?f=AGCE+)
в нем
![CE||AG](https://tex.z-dn.net/?f=CE%7C%7CAG)
, следовательно
![\cup \ AG=\cup \ CE](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ccup+%5C++AG%3D%5Ccup+%5C+CE)
;
![MTC=CTE](https://tex.z-dn.net/?f=MTC%3DCTE)
;
![MCB=GCA](https://tex.z-dn.net/?f=MCB%3DGCA)
откуда следует что равны по соответствующим дугам
![GCA=CTE\\ GCA=MCB\\ CTE=MTC\\ MCB=MTC](https://tex.z-dn.net/?f=GCA%3DCTE%5C%5C%0AGCA%3DMCB%5C%5C%0ACTE%3DMTC%5C%5C%0AMCB%3DMTC)
вся это конструкция выглядит довольно очень искусственно, имеется ввиду что исходя из того что
является прямоугольник, авторы задачи видимо на этом и конструировали эту самую задачу. 2)Теперь докажем численно , то есть для произвольного треугольник, что это и будет выполнятся , к примеру треугольник со сторонами
такой треугольник существует исходя из неравенств треугольников (Можно конечно взять стороны за
![a;b;c](https://tex.z-dn.net/?f=a%3Bb%3Bc)
и проделать операций которые описаны ниже,но оно будет объемным)
Докажем так предположим что
![MCB=MTC](https://tex.z-dn.net/?f=MCB%3DMTC)
, то есть что это действительно так , тогда должно выполнятся условие
![S_{BTA}+S_{BTC}+S_{CTA}=S_{ABC}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BBTA%7D%2BS_%7BBTC%7D%2BS_%7BCTA%7D%3DS_%7BABC%7D)
, если это не так то предположение будет не верным , значит
![MCB \neq MTC](https://tex.z-dn.net/?f=MCB+%5Cneq+MTC)
![12^2=6^2+7^2-2*6*7*cos2a\\ cos2a=-\frac{59}{84}](https://tex.z-dn.net/?f=12%5E2%3D6%5E2%2B7%5E2-2%2A6%2A7%2Acos2a%5C%5C%0A+cos2a%3D-%5Cfrac%7B59%7D%7B84%7D)
по формуле биссектрисы , и зная что
![CM=0.5*CK](https://tex.z-dn.net/?f=CM%3D0.5%2ACK)
, можно найти по формуле биссектрисы
По теореме косинусов из треугольника
![BKC\\ KB=\frac{84}{13}](https://tex.z-dn.net/?f=BKC%5C%5C%0AKB%3D%5Cfrac%7B84%7D%7B13%7D)
Найдем длину медианы
![S_{ABT}=\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184} *0.5*\frac{35\sqrt{3}}{46}*](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BABT%7D%3D%5Cfrac%7B339%5Csqrt%7B14%7D-140%5Csqrt%7B3%7D%2Acos%280.5%2Acos%28+-%5Cfrac%7B59%7D%7B84%7D%29%29%7D%7B184%7D+%2A0.5%2A%5Cfrac%7B35%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B46%7D%2A)
Угол
![TMC=arccos( - \frac{35}{92\sqrt{3}})](https://tex.z-dn.net/?f=TMC%3Darccos%28+-+%5Cfrac%7B35%7D%7B92%5Csqrt%7B3%7D%7D%29)
(это когда находя угол
![BMC](https://tex.z-dn.net/?f=BMC)
, затем отнимая от
![\pi-BMC-a](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpi-BMC-a)
)
Из треугольника
![TMC](https://tex.z-dn.net/?f=TMC)
, по теореме синусов
![TC=\frac{\sqrt{1-(\frac{35}{92\sqrt{3}})^2}*\frac{5*\sqrt{10.5}}{13}}{sin(arccos(-\frac{59}{84})*0.5)}=\frac{35*\sqrt{3}}{46}\\ AT=\sqrt{36-TC^2} = \frac{13*\sqrt{429}}{46}](https://tex.z-dn.net/?f=TC%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1-%28%5Cfrac%7B35%7D%7B92%5Csqrt%7B3%7D%7D%29%5E2%7D%2A%5Cfrac%7B5%2A%5Csqrt%7B10.5%7D%7D%7B13%7D%7D%7Bsin%28arccos%28-%5Cfrac%7B59%7D%7B84%7D%29%2A0.5%29%7D%3D%5Cfrac%7B35%2A%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B46%7D%5C%5C%0AAT%3D%5Csqrt%7B36-TC%5E2%7D+%3D++%5Cfrac%7B13%2A%5Csqrt%7B429%7D%7D%7B46%7D)
найдем
![BT](https://tex.z-dn.net/?f=BT)
по теореме косинусов так же
![BT=\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}](https://tex.z-dn.net/?f=BT%3D%5Cfrac%7B339%5Csqrt%7B14%7D-140%5Csqrt%7B3%7D%2Acos%280.5%2Acos%28+-%5Cfrac%7B59%7D%7B84%7D%29%29%7D%7B184%7D)
![S_{BTC} =\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}* \frac{35\sqrt{3}}{46}*sin(\frac{arccos\frac{-59}{84}}{2})*0.5](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BBTC%7D+%3D%5Cfrac%7B339%5Csqrt%7B14%7D-140%5Csqrt%7B3%7D%2Acos%280.5%2Acos%28+-%5Cfrac%7B59%7D%7B84%7D%29%29%7D%7B184%7D%2A+%5Cfrac%7B35%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B46%7D%2Asin%28%5Cfrac%7Barccos%5Cfrac%7B-59%7D%7B84%7D%7D%7B2%7D%29%2A0.5)
![S_{BTA}=sin(\frac{\pi}{2}-\frac{arccos\frac{-59}{84}}{2})*0.5*\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}](https://tex.z-dn.net/?f=S_%7BBTA%7D%3Dsin%28%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Barccos%5Cfrac%7B-59%7D%7B84%7D%7D%7B2%7D%29%2A0.5%2A%5Cfrac%7B339%5Csqrt%7B14%7D-140%5Csqrt%7B3%7D%2Acos%280.5%2Acos%28+-%5Cfrac%7B59%7D%7B84%7D%29%29%7D%7B184%7D)
![*\frac{35\sqrt{3}}{46}](https://tex.z-dn.net/?f=%2A%5Cfrac%7B35%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B46%7D)
![S_{CTA}=\frac{35*\sqrt{3}}{46}*\frac{13*\sqrt{429}}{46}*0.5](https://tex.z-dn.net/?f=+S_%7BCTA%7D%3D%5Cfrac%7B35%2A%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B46%7D%2A%5Cfrac%7B13%2A%5Csqrt%7B429%7D%7D%7B46%7D%2A0.5++)
суммируя получим
что верно найдя площадь самого треугольник к примеру по формуле Герона является верным ,значит предположение было верным
![MTC=MCB](https://tex.z-dn.net/?f=MTC%3DMCB)