Question

Докажите что четырехугольник abcd является ромбом А(1;-2) ,В(2;5) С(-5;4) Д(-6;-3)

Answer 1

Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек  его конца и начала ab{х2-х1;y2-y1}.
Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²).
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)].
В нашем случае:
Вектор АВ(2-1;5-(-2)) или AB(1;7) |AB|=√(1²+7))=5√2.
Вектор ВC(-5-2;4-5) или BC(-7;-1) |BC|=√(7²+(-1)²)=5√2.
Вектор CD(-6-(-5);-3-4) или CD(-1;-7) |CD|=√((-1)²+(-7)²))=5√2.
Вектор CD(-6-(-5);-3-4) или CD(-1;-7) |CD|=√((-1)²+(-7)²))=5√2.
Вектор AD(-6-1);-3-(-2)) или AD(-7;-1) |AD|=√((-7)²+(-1)²))=5√2.
Итак, четырехугольник АВСД параллелограмм (так как его противоположные стороны попарно равны. А поскольку все его
стороны равны, то это или ромб, или квадрат.
Найдем один из углов четырехугольника между сторонами АВ и AD (этого достаточно).
cosα=(Xab*Xad1+Yab*Yad)/[√(Xab²+Yab²)*√(Xad²+Yad²)].
Или cosα=(1*(-7)+7*(-1))/[√(1²+7²)*√((-7)²+(-1)²)]=--14/5√2.
Следовательно, этот угол тупой.А так как в квадрате все углы прямые, то вывод: четырехугольник АВСD - ромб что и требовалось доказать.