В слове КЕКСИК орфограмма находится в суффиксе -ИК, и если букву К можно объяснить тем, что в суффиксах согласно единообразному написанию не может быть в принципе буквы Г, то букву И объясняем так: в суффиксах имен существительных -ЕК и -Ик надо поставить слово в родительный падеж, и если буква не выпала, то пишем И, а если выпала. то Е: кексИК - нет кексИка.
Сравним: мальчик -мальчика, но звоночек -звоночка.
На самом деле здесь в одной и той же букве И скрываются сразу две орфограммы. Есть тут и написание буквосочетаний ЖИ-ШИ через И — это так, с этим не поспоришь. Данное правило нужно просто заучить наизусть, его учат ещё в 1–2-м классах. Ну а ещё здесь безударная гласная И, причём проверяемая ударением. Можно подобрать проверочные слова: живо, живость, жив (краткая форма прилагательного "живой"). Чётко звучит И (фонетически звук [ы]) — значит, ту же букву напишем и в безударной позиции.
В слове НАГЛЕЦ необходимо проверить безударную гласную А в корне НАГЛ-. Для этого нам нужно подобрать такие проверочные слова, при которых данная гласная буква будет находиться в сильной позиции, то есть стоять под ударением: нАглый, нАглость.
На конце слова из-за того, что оно является именем существительным мужского рода второго склонения, мягкий знак не пишется. Аналогичные примеры: певец, чтец, жилец, палец, малец, неандерталец, кроманьонец.
По произношению проверочного слова становится понятно, что в корне слова "чад" пишется такая же буква, как и в слове "обоняние". Чад однокоренные и проверочные слова: чадить, чадно, чадный. Чад разбор слова по составу по правилам русского языка школьной программы: приставки нет, корень чад, суффикса нет, окончание нулевое, основа чад.
В слове ПУГАЧ необходимо объяснить, почему в этом слове на конце не пишется мягкий знак, хотя многие люди могут умудриться его написать. Дело в том, что это слова является именем существительным мужского рода второго склонения, а в подобных словах никогда на конце не пишется мягкий знак: силач, палач, грач, врач, смерч, коуч и тому подобные примеры.