Обозначим
- (это число действительное, как сумма действительных чисел, корень кубический из любого действительного числа - число действительное, корень квадратный с положительного число - действительное число)
Возведем в куб (пользуясь формулой куба двучлена в виде
)
, получим
![A^3=(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})^3=\\\\ (\sqrt[3]{9+\sqrt{80}})^3+3*(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})*\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}*\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}+(\sqrt[3]{9-\sqrt{80}})^3=\\\\ 9+\sqrt{80}+3*A*\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}+9-\sqrt{80}=\\\\ 18+3*A*\sqrt[3]{(9^2-(\sqrt{80})^2}=\\\\ 18+3*A*\sqrt[3]{81-80}=\\\\ 18+3A*1=18+3A](https://tex.z-dn.net/?f=A%5E3%3D%28%5Csqrt%5B3%5D%7B9%2B%5Csqrt%7B80%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B9-%5Csqrt%7B80%7D%7D%29%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%20%28%5Csqrt%5B3%5D%7B9%2B%5Csqrt%7B80%7D%7D%29%5E3%2B3%2A%28%5Csqrt%5B3%5D%7B9%2B%5Csqrt%7B80%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B9-%5Csqrt%7B80%7D%7D%29%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B9%2B%5Csqrt%7B80%7D%7D%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B9-%5Csqrt%7B80%7D%7D%2B%28%5Csqrt%5B3%5D%7B9-%5Csqrt%7B80%7D%7D%29%5E3%3D%5C%5C%5C%5C%209%2B%5Csqrt%7B80%7D%2B3%2AA%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B%289%2B%5Csqrt%7B80%7D%29%289-%5Csqrt%7B80%7D%29%7D%2B9-%5Csqrt%7B80%7D%3D%5C%5C%5C%5C%2018%2B3%2AA%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B%289%5E2-%28%5Csqrt%7B80%7D%29%5E2%7D%3D%5C%5C%5C%5C%2018%2B3%2AA%2A%5Csqrt%5B3%5D%7B81-80%7D%3D%5C%5C%5C%5C%2018%2B3A%2A1%3D18%2B3A)
откуда получили что для данного А, справедливо уравнение(решим его)
![A^3=18+3A;\\\\A^3-3A-18=0;\\\\A^3-3A^2+3A^2-9A+6A-18=0;\\\\A^2(A-3)+3A(A-3)+6(A-3)=0;\\\\(A-3)(A^2+3A+6)=0](https://tex.z-dn.net/?f=A%5E3%3D18%2B3A%3B%5C%5C%5C%5CA%5E3-3A-18%3D0%3B%5C%5C%5C%5CA%5E3-3A%5E2%2B3A%5E2-9A%2B6A-18%3D0%3B%5C%5C%5C%5CA%5E2%28A-3%29%2B3A%28A-3%29%2B6%28A-3%29%3D0%3B%5C%5C%5C%5C%28A-3%29%28A%5E2%2B3A%2B6%29%3D0)
откуда либо А-3=0, А=3 - действительное число
либо
- уравнение действительных корней не имеет,
значит А=3, т.е.
, что и требовалось доказать
---------------------------------
![f(x)=\frac{x}{x^2-4x-21},\; \; \; OOF:\; x^2-4x-21\ne 0\\\\x^2-4x-21=0,\\\\x_1=-3,\; x_2=7\; (teor.\; Vieta)\\\\OOF:\; x\ne -3,\; x\ne 7](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2-4x-21%7D%2C%5C%3B+%5C%3B+%5C%3B+OOF%3A%5C%3B+x%5E2-4x-21%5Cne+0%5C%5C%5C%5Cx%5E2-4x-21%3D0%2C%5C%5C%5C%5Cx_1%3D-3%2C%5C%3B+x_2%3D7%5C%3B+%28teor.%5C%3B+Vieta%29%5C%5C%5C%5COOF%3A%5C%3B+x%5Cne+-3%2C%5C%3B+x%5Cne+7)
Области определения принадлежит бесконечное множество целых чисел из множества
![D(f)=(-\infty,-3)U(-3,7)U(7,+\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=D%28f%29%3D%28-%5Cinfty%2C-3%29U%28-3%2C7%29U%287%2C%2B%5Cinfty%29)
(x-y/2x)² × (4x/x-y +4x/y) = (x²-2xy+y²/4x²) × (4xy+4x² - 4xy/y(x-y)) =
4x²(x-y)² / 2xy(x-y) = 2x(x-y) / y
<em><span>2sin17x +√3*cos5x+sin5x=0 (Как я поняла, корень относится только к 3)</span></em>