Question

Решите неравенство. 2x>

Answer 1

1. Раскрываем модуль при условии $x\ \textgreater \ -2$:
$2x\ \textgreater \ \dfrac{5x+3}{x+2} \\\ 2x- \dfrac{5x+3}{x+2} \ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{2x(x+2)-5x-3}{x+2} \ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{2x^2+4x-5x-3}{x+2} \ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{2x^2-x-3}{x+2} \ \textgreater \ 0$
$2x^2-x-3=0 \\\ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25 \\\ x_1= \dfrac{1+5}{2\cdot2} =\dfrac{3}{2}; \ x_2= \dfrac{1-5}{2\cdot2} =-1$
$\dfrac{2(x+1)(x- \frac{3}{2} )}{x+2} \ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{(x+1)(x- \frac{3}{2} )}{x+2} \ \textgreater \ 0$
По методу интервалов:
$x\in(-2;-1)\cup ( \frac{3}{2} ;+\infty)$
Все решения удовлетворяют условию раскрытия модуля.

2. Раскрываем модуль при условии $x\ \textless \ -2$:
$2x\ \textgreater \ -\dfrac{5x+3}{x+2} \\\ 2x+\dfrac{5x+3}{x+2} \ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{2x(x+2)+5x+3}{x+2} \ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{2x^2+4x+5x+3}{x+2} \ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{2x^2+9x+3}{x+2} \ \textgreater \ 0$
$2x^2+9x+3=0 \\\ D=9^2-4\cdot2\cdot3=81-24=57 \\\ x= \dfrac{-9\pm \sqrt{57} }{2\cdot 2} =\dfrac{-9\pm \sqrt{57} }{4}$
$\dfrac{2(x-\dfrac{-9-\sqrt{57} }{4} )(x-\dfrac{-9+\sqrt{57} }{4} )}{x+2} \ \textgreater \ 0 \\\ \dfrac{(x-\dfrac{-9-\sqrt{57} }{4} )(x-\dfrac{-9+\sqrt{57} }{4} )}{x+2} \ \textgreater \ 0$
Оценим корни:
$7\ \textless \ \sqrt{57}\ \textless \ 8 \\\ -2\ \textless \ -9+\sqrt{57}\ \textless \ -1 \\\ - \dfrac{2}{4} \ \textless \ \dfrac{-9+\sqrt{57}}{4} \ \textless \ - \dfrac{1}{4} \\\ \Rightarrow \dfrac{-9+\sqrt{57}}{4} \ \textgreater \ -2$
$7\ \textless \ \sqrt{57}\ \textless \ 8 \\\ -8\ \textless \ -\sqrt{57}\ \textless \ -7 \\\ -17\ \textless \ -9-\sqrt{57}\ \textless \ -16 \\\ - \dfrac{17}{4} \ \textless \ \dfrac{-9-\sqrt{57}}{4} \ \textless \ - \dfrac{16}{4} \\\ \Rightarrow \dfrac{-9-\sqrt{57}}{4} \ \textless \ -2$
По методу интервалов:
$x\in(\frac{-9-\sqrt{57}}{4};-2)\cup (\frac{-9+\sqrt{57}}{4};+\infty)$
Условию раскрытия модуля удовлетворяют решения:
$x\in(\frac{-9-\sqrt{57}}{4};-2)$

3. Решение неравенства есть объединение случаев 1 и 2:
$x\in(\frac{-9-\sqrt{57}}{4};-2)\cup(-2;-1)\cup ( \frac{3}{2} ;+\infty)$