Перенесем все слагаемые в левую часть.
![2\cos^2\left (-3x \right )-3+2\sin^2\left ( -3x \right )-\sin\left ( -3x \right )=0](https://tex.z-dn.net/?f=2%5Ccos%5E2%5Cleft+%28-3x++%5Cright+%29-3%2B2%5Csin%5E2%5Cleft+%28++-3x+%5Cright+%29-%5Csin%5Cleft+%28+-3x+%5Cright+%29%3D0)
Сделаем группировку с первым слагаемым и со вторым, затем вынесем общий множитель.
![2(\cos^2\left ( -3x \right )+\sin^2(-3x))-3+\sin3x=0](https://tex.z-dn.net/?f=2%28%5Ccos%5E2%5Cleft+%28+-3x+%5Cright+%29%2B%5Csin%5E2%28-3x%29%29-3%2B%5Csin3x%3D0)
Видим что в первом слагаемом, второй множитель это основное тригонометрическое тождество:
![\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha =1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csin%5E2+%5Calpha+%2B%5Ccos%5E2+%5Calpha+%3D1)
![2-3+\sin3x=0\\ \\ \sin3x=1\\ \\ 3x= \frac{\pi}{2} +2\pi k,k \in \mathbb{Z}|:3\\ \\ \boxed{x= \frac{\pi}{6}+ \frac{2\pi k}{3},k \in\mathbb{Z} }](https://tex.z-dn.net/?f=2-3%2B%5Csin3x%3D0%5C%5C+%5C%5C+%5Csin3x%3D1%5C%5C+%5C%5C+3x%3D+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+%2B2%5Cpi+k%2Ck+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%7C%3A3%5C%5C+%5C%5C+%5Cboxed%7Bx%3D+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%2B+%5Cfrac%7B2%5Cpi+k%7D%7B3%7D%2Ck+%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D++%7D)
Период 3π нули 3πk k∈Z 0;3π;6π.... -3π;-6π....
всюду возрастает
точки разрыва cos(x/3)=0 x/3=π/2+πk x=3/2π+3πk k=0 x=3/2π;
k=-1 x=3/2π-3π=-3/2π....
Пусть бабушка работала t часов, внук (5 - t) часов.
Производительность бабушки: 15/t грядок в час, внука: 14/(5 - t) грядок в час.
По условию бабушка за час выкапывает на 2 грядки меньше внука:
15/t + 2 = 14/(5 - t)
Домножаем уравнения на t(5 - t) = 5t - t^2:
15(5 - t) + 2(5t - t^2) = 14t
75 - 15t + 10t - 2t^2 = 14t
2t^2 + 19t - 75 = 0
D = 19^2 + 4 * 2 * 75 = 361 + 600 = 961 = 31^2
t = (-19 +- 31)/4
Положительное решение t = (31 - 19)/4 = 12/4 = 3
Ответ. Бабушка работала 3 часа, внук работал 2 часа.