Так как дано отношение расстояний от точки F(4;7) до прямой х = -7 и до кривой, равное 7/4, то делаем вывод: кривая - это гипербола.
Заданное отношение 7/4 это эксцентриситет этой гиперболы.
Этот вывод основан на свойстве:
Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная е > 1 называется эксцентриситетом гиперболы.
Для данной задачи имеем 3 заданных параметра:
1) уравнение директрисы х = -7,
2) значение эксцентриситета, равное 7/4,
3) координаты фокуса F(4; 7).
Из этих данных определяем, что прямая у = 7 является действительной осью гиперболы.
Из полученных данных определяем координаты вершины гиперболы на основе соотношения с/а = е.
Расстояние между директрисой и фокусом равно 4 - (-7) = 11.
Оно делится точкой гиперболы (на действительной оси это вершина) в отношении 7/4. Получаем координаты вершины.
Δх = 11*(7/(4+7)) = 7.
х(D) = x(F) - Δx = 4 - 7 = -3. Точка D(-3; 7)
Находим расстояние между фокусом и вершиной: DF = 4 - (-3) = 7.
Заменим с = а + DF = а + 7 и подставим в уравнение эксцентриситета:
(a + 7)/a = 7/4,
4a + 28 = 7a,
3a = 28,
a = 28/3.
Отсюда с = а + 7 = (28/3) + 7 = 49/3.
Теперь находим параметр b из соотношения:
b² = c² - a² = (49/3)² - (28/3)² = 1617/9,
b = √1617/3 = (7/3)*√33.
Осталось определить координаты центра гиперболы (точка L).
xL = xF - c = 4 - (49/3) = -37/3.
Координаты по оси Oy равны 7.
Точка L((-37/3); 7).
Получаем каноническое уравнение гиперболы.
![\frac{(x+\frac{37}{3)})^2 }{(\frac{28}{3} )^2} -\frac{(y-7)^2}{\frac{(\sqrt{1617}}{3} )^2 } =1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%28x%2B%5Cfrac%7B37%7D%7B3%29%7D%29%5E2%20%7D%7B%28%5Cfrac%7B28%7D%7B3%7D%20%29%5E2%7D%20-%5Cfrac%7B%28y-7%29%5E2%7D%7B%5Cfrac%7B%28%5Csqrt%7B1617%7D%7D%7B3%7D%20%29%5E2%20%7D%20%3D1)
Его можно преобразовать в более простой вид:
![\frac{9}{784} (x+\frac{37}{3})^2 -\frac{3}{539} (y-7)^2=1.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B9%7D%7B784%7D%20%28x%2B%5Cfrac%7B37%7D%7B3%7D%29%5E2%20-%5Cfrac%7B3%7D%7B539%7D%20%28y-7%29%5E2%3D1.)
На одном из прилагаемых рисунков в программе GeoGebra данная кривая построена по заданному условию.
На этом же рисунке даётся общее уравнение кривой.