§5 Поток вектора напряженности
<span><span>Определим поток вектора через произвольную поверхность dS</span>, - нормаль к поверхности.α - угол ме<span>жду нормалью и силовой линией вектора . Можно ввести вектор площади . ПОТОКОМ ВЕКТОРА называется скалярная величина ФЕ равная скалярному произведению вектора напряженности на вектор площади </span></span>
Для однородного поля
<span />
Для неоднородного поля
<span /><span>где - проекция на , - проекция на .</span><span /><span>В случае криволинейной поверхности S ее нужно разбить на элементарные поверхности <em>dS</em>, рассчитать поток через элементарную поверхность, а общий поток будет равен сумме или в пределе интегралу от элементарных потоков</span><span /><span>где - интеграл по замкнутой поверхности S (например, по сфере, цилиндру, кубу и т.д.)</span><span>Поток вектора является алгебраической величиной: зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления .
Для замкнутых поверхностей за положительное направление нормали
принимается внешняя нормаль, т.е. нормаль, направленная наружу области,
охватываемой поверхностью.</span><span> </span>
<span /><span /><span /> Для однородного поля поток через замкнутую поверхность равен нуля. В случае неоднородного поля <span>.</span> §6 Теорема Гаусса и ее применение к расчету напряженности электростатического поля <span>I. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое единичным положительным зарядом. Заключим его в<span> сферу радиуса <em>R</em>. Определим поток напряженности через сферическую поверхность радиуса <em>R</em>.</span></span><span><span>Разобъем поверхность <em>S</em> сферы на элементарные площадки <em>dS</em>. Нормаль к площадке <em>dS</em> направлена по линии радиуса сфера и совпадает с направлением вектора : параллельна поэтому</span></span><span /><span><span> </span></span><span>Тогда поток вектора через поверхность <em>S</em> будет равен сумме потоков через элементарные площадки <em>dS</em> и устремляя <em>dS</em> к 0 можно записать, что </span><span /> Учитывая, что напряженность поля точечного заряда равна <span /> получим <span /> Этот результат можно обобщить на случай любой поверхности. Учитывая принцип суперпозиции можно полученный результат применить к любому количеству зарядов, находящихся внутри поверхности. <span>ТЕОРЕМА ГАУССА:</span><span>Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0 (ε0 - электрическая постоянная)</span><span /> II. Применение теоремы Гаусса. <span>Напряженность поля, создаваемая бесконечно протяженной однородно заряженной плоскоти с поверхностной плотностью заряда σ.
ПОВЕРХНОСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА показывает, какой заряд приходится на единицу площади </span><span>Пинии напряженности перпендикулярны рассматриваемой поверхности и направлены от нее в обе стороны. Построим цилиндр с основанием <em>S</em>, образующая которого параллельна линиям напряженности .</span> <span>
<span>Так как образующая цилиндра параллельна , то поток через основание <em>S</em> равен</span></span><span /><span>Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. перпендикулярна <em>S</em> cosα= cos90° = 0, следовательно,</span><span /><span /><span>2. <span>Напряженность поля, создаваемая двумя параллельными бесконечно протяженными пластинами с поверхностной плотностью зарядов +σ и -σ. Найден поле <em>Е</em>, используя принцип</span></span><span>
суперпозиции полей. В области между плоскостями </span><span /><span>Слева и справа от плоскостей поля вычитаются, т.к. линии напряженности направлены навстречу друг другу .</span> <span>3. Напряженность ноля, создаваемая бесконечно протяжённой нитью с линейной плотностью заряда τ.</span> Линейная плотность заряда показывает, какой заряд приходится на единицу длина проводника. <span>Требуется определить напряженность ноля на некотором расстоянии <em>r</em><em />от нити. Для этого построим цилиндр радиуса <em>r</em> и высотой h, по оси которого проходит нить.</span><span /><span>
<span>Поток через основания рассматриваемого цилиндра равен нулю, т.к. перпендикулярна вектору , следовательно, поток будет определяться только потоком через боковую поверхность цилиндра</span></span><span><span>
</span>4. Напряженность поля, создаваемого сферической поверхностью с поверхностной плотностью заряда σ.</span> На сфере радиуса R распределен заряд q. Поверхностная плотность заряда <span /> <span>Линии напряженности направлены радиально, отходя от поверхности сфера под прямым углом. Окружаем данную сферу сферой радиуса <em>r</em><span> и определяем поток напряженности через </span>cферическую поверхность радиуса <em>r</em>. </span> <span>При <em>r</em><span>> <em>R</em> весь заряд </span><em>q</em> попадает внутрь сфера <em>r</em>. Тогда по теореме Гаусса</span> <span><span>, т.к. <em>Е</em></span>n<span> = <em>E</em>.</span></span><span> <span> </span></span><span /><span>При <em>r < R</em> внутри поверхности радиуса <em>r</em> зарядов нет и поэтому Е=0. На этом основано экранирование - защита от внешних электрических полей.</span> <span>5. Напряженность поля объемно заряженного шара с объемной плотностью заряда ρ.</span> Объемная плотность заряда показывает, какой заряд приходится на единицу объема <span /><span>а) При <em>r > R</em> по пункту 4 находим</span><span /><span> </span><span /><span>б) <span>При <em>r < R</em></span></span><span /><span /> <span />
<span /><span /><span /> Для однородного поля поток через замкнутую поверхность равен нуля. В случае неоднородного поля <span>.</span> §6 Теорема Гаусса и ее применение к расчету напряженности электростатического поля <span>I. Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое единичным положительным зарядом. Заключим его в<span> сферу радиуса <em>R</em>. Определим поток напряженности через сферическую поверхность радиуса <em>R</em>.</span></span><span><span>Разобъем поверхность <em>S</em> сферы на элементарные площадки <em>dS</em>. Нормаль к площадке <em>dS</em> направлена по линии радиуса сфера и совпадает с направлением вектора : параллельна поэтому</span></span><span /><span><span> </span></span><span>Тогда поток вектора через поверхность <em>S</em> будет равен сумме потоков через элементарные площадки <em>dS</em> и устремляя <em>dS</em> к 0 можно записать, что </span><span /> Учитывая, что напряженность поля точечного заряда равна <span /> получим <span /> Этот результат можно обобщить на случай любой поверхности. Учитывая принцип суперпозиции можно полученный результат применить к любому количеству зарядов, находящихся внутри поверхности. <span>ТЕОРЕМА ГАУССА:</span><span>Поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0 (ε0 - электрическая постоянная)</span><span /> II. Применение теоремы Гаусса. <span>Напряженность поля, создаваемая бесконечно протяженной однородно заряженной плоскоти с поверхностной плотностью заряда σ.
ПОВЕРХНОСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЗАРЯДА показывает, какой заряд приходится на единицу площади </span><span>Пинии напряженности перпендикулярны рассматриваемой поверхности и направлены от нее в обе стороны. Построим цилиндр с основанием <em>S</em>, образующая которого параллельна линиям напряженности .</span> <span>
<span>Так как образующая цилиндра параллельна , то поток через основание <em>S</em> равен</span></span><span /><span>Поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю, т.к. перпендикулярна <em>S</em> cosα= cos90° = 0, следовательно,</span><span /><span /><span>2. <span>Напряженность поля, создаваемая двумя параллельными бесконечно протяженными пластинами с поверхностной плотностью зарядов +σ и -σ. Найден поле <em>Е</em>, используя принцип</span></span><span>
суперпозиции полей. В области между плоскостями </span><span /><span>Слева и справа от плоскостей поля вычитаются, т.к. линии напряженности направлены навстречу друг другу .</span> <span>3. Напряженность ноля, создаваемая бесконечно протяжённой нитью с линейной плотностью заряда τ.</span> Линейная плотность заряда показывает, какой заряд приходится на единицу длина проводника. <span>Требуется определить напряженность ноля на некотором расстоянии <em>r</em><em />от нити. Для этого построим цилиндр радиуса <em>r</em> и высотой h, по оси которого проходит нить.</span><span /><span>
<span>Поток через основания рассматриваемого цилиндра равен нулю, т.к. перпендикулярна вектору , следовательно, поток будет определяться только потоком через боковую поверхность цилиндра</span></span><span><span>
</span>4. Напряженность поля, создаваемого сферической поверхностью с поверхностной плотностью заряда σ.</span> На сфере радиуса R распределен заряд q. Поверхностная плотность заряда <span /> <span>Линии напряженности направлены радиально, отходя от поверхности сфера под прямым углом. Окружаем данную сферу сферой радиуса <em>r</em><span> и определяем поток напряженности через </span>cферическую поверхность радиуса <em>r</em>. </span> <span>При <em>r</em><span>> <em>R</em> весь заряд </span><em>q</em> попадает внутрь сфера <em>r</em>. Тогда по теореме Гаусса</span> <span><span>, т.к. <em>Е</em></span>n<span> = <em>E</em>.</span></span><span> <span> </span></span><span /><span>При <em>r < R</em> внутри поверхности радиуса <em>r</em> зарядов нет и поэтому Е=0. На этом основано экранирование - защита от внешних электрических полей.</span> <span>5. Напряженность поля объемно заряженного шара с объемной плотностью заряда ρ.</span> Объемная плотность заряда показывает, какой заряд приходится на единицу объема <span /><span>а) При <em>r > R</em> по пункту 4 находим</span><span /><span> </span><span /><span>б) <span>При <em>r < R</em></span></span><span /><span /> <span />
0
0