Question

Помогите, пожалуйста решить интеграл и записать ход решения.

Answer 1

Решим тригонометрическим подстановкой:
$...=\big \{3\sin u=x;\,\,\,\,3\cos u\, du=dx\big\}=\int \dfrac{ \sqrt{9-9\sin^2u} }{9\sin^2u} \cdot3\cos u\, du=\\ \\ \\ =\int \dfrac{3 \sqrt{\cos^2u} }{3\sin^2u} \cdot \cos u\,du=\int \dfrac{|\cos u|\cos u}{\sin^2u} \, du=\int ctg^2u\,\, du=\\ \\ \\ =\int \bigg ( \dfrac{1}{\sin^2u} -1\bigg)du =\int \dfrac{1}{\sin^2u} du-\int du=-u-ctg \, u+C= \\ \\ \\ =-\arcsin\bigg( \dfrac{x}{3} \bigg)-ctg\bigg(\arcsin\bigg( \dfrac{x}{3} \bigg)\bigg)+C$