Формула площади треугольника имеет вид: S=ab/2, где a - высота, b - основание. Примем формулу площади треугольника за функцию S(b), выразим
a через b, чтобы функция была от одной независимой переменной b.
Высоту a вычислим с помощью т.Пифагора: a=√2²-(b/2)²=
![\frac{ \sqrt{16- b^{2} } }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B16-+b%5E%7B2%7D+%7D+%7D%7B2%7D+)
Подставляя полученное выражение в формулу функции S(b) вместо а получим:
![S(b)= \frac{b \sqrt{16- b^{2} } }{4}](https://tex.z-dn.net/?f=S%28b%29%3D+%5Cfrac%7Bb+%5Csqrt%7B16-+b%5E%7B2%7D+%7D+%7D%7B4%7D+)
.
Нужно найти значение переменной b такое, при котором функция S(b) примет наибольшее значение
Найдем производную:
![S'(b)= \frac{1}{4}( \sqrt{16- b^{2} }- \frac{ b^{2} }{ \sqrt{16- b^{2} } })](https://tex.z-dn.net/?f=S%27%28b%29%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%28+%5Csqrt%7B16-+b%5E%7B2%7D+%7D-+%5Cfrac%7B+b%5E%7B2%7D+%7D%7B+%5Csqrt%7B16-+b%5E%7B2%7D+%7D+%7D%29+++)
Приравняем её к нулю и найдем точки экстремума, в одной из которых функция принимает искомое наибольшее значение:
![\frac{1}{4}( \sqrt{16- b^{2} }- \frac{ b^{2} }{ \sqrt{16- b^{2} } } )=0 \sqrt{16- b^{2} } = \frac{ b^{2} }{ \sqrt{16- b^{2} } }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%28+%5Csqrt%7B16-+b%5E%7B2%7D+%7D-+%5Cfrac%7B+b%5E%7B2%7D+%7D%7B+%5Csqrt%7B16-+b%5E%7B2%7D+%7D+%7D+%29%3D0%0A%0A++%5Csqrt%7B16-+b%5E%7B2%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B+b%5E%7B2%7D+%7D%7B+%5Csqrt%7B16-+b%5E%7B2%7D+%7D+%7D++)
![16- b^{2} = b^{2} 2 b^{2}=16 b=+-2 \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=16-+b%5E%7B2%7D+%3D+b%5E%7B2%7D+%0A%0A2+b%5E%7B2%7D%3D16%0A%0Ab%3D%2B-2+%5Csqrt%7B2%7D++)
S(2√2)=2
S(-2√2)=-2
В точке b=2√2 функция S(b) принимает наибольшее значение.
Т.о, основание треугольника должно быть равным 2√2, чтобы площадь треугольника была наибольшей.