Question

Сократила ли дробь (7^53-2^37)/5

Answer 1

Дробь сократима, если её числитель и  знаменатель имеют хотя бы один общий делитель, отличный от единицы.

$\dfrac{7^{53}-2^{37}}{5}$ будет сократимой, если $7^{53}-2^{37}$ делится на $5$. А для того чтобы число делилось на $5$, нужно чтобы это число заканчивалось на $0$ или на $5$.


Выписывая первые степени семёрки 
$7^7=7 \\ 7^2=\dots 9 \\ 7^3= \dots 3 \\ 7^4=\dots 1 \\ 7^5=\dots 7 \\ 7^6=\dots 9 \\ 7^7=\dots 3 \\ 7^8=\dots 1 \\ 7^9=\dots 7$ 
, получаем закономерность:
$7^{2n}=\dots1 \\ 7^{2n+1}=\dots7 \\ 7^{2m}=\dots9 \\ 7^{2m+1}\dots3$
, где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.

То же делаем и для степеней двойки:
$2^1=1 \\ 2^2=4 \\ 2^3=8 \\ 2^4=\dots6 \\ 2^5=\dots2 \\ 2^6=\dots4 \\ 2^7=\dots8 \\ 2^8=\dots6 \\ 2^9=\dots2$

$2^{2n}=\dots6 \\ 2^{2n+1}=\dots2 \\ 2^{2m}=\dots4 \\ 2^{2m+1}=\dots8$
 , где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.




Т.к. $53=2\cdot26+1$ , то $7^{53}= \dots7$.
Т.к. $37=2\cdot18+1$ , то $2^{37}= \dots2$.

Значит $7^{53}-2^{37}=\dots7-\dots2=\dots5$. Отсюда следует, что $7^{53}-2^{37}$ делится на $5$, и ,соответственно, дробь $\dfrac{7^{53}-2^{37}}{5}$ — сократима.