Пусть a - 1 катет, b - 2 катет
по условию:
a+b=8
формула площади прямоугольного треугольника
S=0,5ab, где a,b - катеты
также известно, что S≥6
к тому же катеты должны быть положительными, значит:
a>0 и b>0
тогда можно составить систему:
![\left \{ {{a+b=8} \atop {0,5ab \geq 6}} \right. \\ \left \{ {{a+b=8} \atop {ab \geq 12}} \right. \\a=8-b \\(8-b)*b \geq 12 \\8b-b^2-12 \geq 0 \\b^2-8b+12 \leq 0 \\D=64-48=16=4^2 \\b_1= \frac{8+4}{2} =6 \\b_2= \frac{8-4}{2}=2 \\(b-2)(b-6) \leq 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%2Bb%3D8%7D+%5Catop+%7B0%2C5ab+%5Cgeq+6%7D%7D+%5Cright.+%0A%5C%5C+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7Ba%2Bb%3D8%7D+%5Catop+%7Bab+%5Cgeq+12%7D%7D+%5Cright.+%0A%5C%5Ca%3D8-b%0A%5C%5C%288-b%29%2Ab+%5Cgeq+12%0A%5C%5C8b-b%5E2-12+%5Cgeq+0%0A%5C%5Cb%5E2-8b%2B12+%5Cleq+0%0A%5C%5CD%3D64-48%3D16%3D4%5E2%0A%5C%5Cb_1%3D+%5Cfrac%7B8%2B4%7D%7B2%7D+%3D6%0A%5C%5Cb_2%3D+%5Cfrac%7B8-4%7D%7B2%7D%3D2+%0A%5C%5C%28b-2%29%28b-6%29+%5Cleq+0)
график этого неравенства - парабола, ветви вверх, вершина лежит ниже ox, значит функция будет принимать отрицательные значения в промежутке между корнями
тогда решение этого неравенства:
![b \in [2;6]](https://tex.z-dn.net/?f=b+%5Cin+%5B2%3B6%5D)
Ответ:
![b \in [2;6]](https://tex.z-dn.net/?f=b+%5Cin+%5B2%3B6%5D)