Есть правило нахождении предела отношения дробно-рациональной функции при х---> к бескон.Если многочлен в числителе имеет степень, равную степени многочлена в знаменателе, то предел равен отношению коэффициентов перед СТАРШИМИ степенями.Доказывается это с помощью деления числителя и знаменателя на старшую степень и учёта того, что константа, делённая на бесконечно большую велмчину равна 0 (беск.малой величине).
В 1 примере старшая степень числителя первая и коэффициент перед ней равен 1.В знаменателе старш.степень первая и старший коэффю=1.Поэтому предел равен 1:1=1. Если решать пример с помощью деления на старш.степень, то получим:
![lim_{x\to \infty }\frac{x+1}{x-2}=lim_{x\to \infty }\frac{\frac{x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}=lim\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}=[\frac{1+0}{1-0}]=\frac{1}{1}=1](https://tex.z-dn.net/?f=lim_%7Bx%5Cto+%5Cinfty+%7D%5Cfrac%7Bx%2B1%7D%7Bx-2%7D%3Dlim_%7Bx%5Cto+%5Cinfty+%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%7D%3Dlim%5Cfrac%7B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7D%7B1-%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D%7D%3D%5B%5Cfrac%7B1%2B0%7D%7B1-0%7D%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%7D%3D1)
Конечно, удобнее пользоваться готовым правилом.
Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то предел будет равен 0.
Если степень многочлена в числ. больше степени мног. в знаменателе, то предел равен бесконечности.
Например:
![lim_{x\to \infty }\frac{x+3}{5x^2+2x-5}=0,tak\; \; kak\\\\lim_{x\to \infty }\frac{\frac{x}{x^2}+\frac{3}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2}+\frac{2x}{x^2}-\frac{5}{x^2}}=lim\frac{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{5+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2}}=[\frac{0+0}{5+0-0}]=\frac{0}{5}=0](https://tex.z-dn.net/?f=lim_%7Bx%5Cto+%5Cinfty+%7D%5Cfrac%7Bx%2B3%7D%7B5x%5E2%2B2x-5%7D%3D0%2Ctak%5C%3B+%5C%3B+kak%5C%5C%5C%5Clim_%7Bx%5Cto+%5Cinfty+%7D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7B%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7Bx%5E2%7D%2B%5Cfrac%7B2x%7D%7Bx%5E2%7D-%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%5E2%7D%7D%3Dlim%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7Bx%5E2%7D%7D%7B5%2B%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B5%7D%7Bx%5E2%7D%7D%3D%5B%5Cfrac%7B0%2B0%7D%7B5%2B0-0%7D%5D%3D%5Cfrac%7B0%7D%7B5%7D%3D0)
В 1 примере старшая степень числителя первая и коэффициент перед ней равен 1.В знаменателе старш.степень первая и старший коэффю=1.Поэтому предел равен 1:1=1. Если решать пример с помощью деления на старш.степень, то получим:
Конечно, удобнее пользоваться готовым правилом.
Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то предел будет равен 0.
Если степень многочлена в числ. больше степени мног. в знаменателе, то предел равен бесконечности.
Например: