Пусть радиус циферблата часов равен 1.
Нарисуем рисунок момента встречи стрелок в обычных (т.е. точных) часах. Угол встречи стрелок находится где-то между часом 13:00 и 14:00. Обозначим через Х часть угла, которая находится за 13:00. Угол между 12:00 и 13:00 составляет pi/6 [рад].
Время до встречи стрелок в обычных часах составляет Т = 60 + t [мин], где за t мин часовая стрелка проходит расстояние (т.е. угол) Х радиан. Отсюда
t = расстояние/скорость = X/(pi/360) = 360*X/pi (1) , где pi/360 - это угловая скорость часовой стрелки [рад/ч].
За те же t минут минутная стрелка проходит расстояние (т.е. угол) Х+pi/6 [рад]:
t = расстояние/скорость = (Х+pi/6)/(pi/30) = 5(6X+pi)/pi (2) , где pi/30 - это угловая скорость минутной стрелки [рад/ч].
Приравнивая (1) и (2) получим, что 60 + t = 60 + 360/66 = 65 + 60/65 [мин] (3)
Напомним, что в неточных часах до момента встречи стрелок проходит 65 [мин] (4)
Из (3) и (4) следует, что неточные часы идут быстрее точных. Т.е. они спешат.
Вопрос: если на обычных часах прошел час, то сколько же времени t1 пройдет на неточных часах?
Составляем пропорцию, основанную на (3) и (4):
65 [мин] --- 65 + 60/66 [мин] 60 [мин] --- t1
Откуда находим, что t1 = (65 + 60/66)*60/65 = 60 + (720/845) [мин], т.е. ошибка за час для неточных часов составляет 720/845 [мин].
Следовательно, ошибка за сутки составит (720/845)*24 [мин] = (720*24)/(845*60) [ч] = 288/845 [ч]. Ошибка за N суток составит (288/845)*N [ч] (5)
Для того, чтобы неточные часы снова показали точное время нужно, чтобы ошибка составила 24*К [ч] = К [суток], где К - любое целое число (6)
Приравнивая (5) и (6) получаем, что
(288/845)*N = 24*К, откуда N = (845/12)*K. Чтобы N (количество суток) было целым нужно, чтобы К = 12,24,36,48,... , т.е. К = 12*s, где s - целые числа.
Первый раз неправильные часы покажут правильное время при К = 12 [суток].
Ответ: Неправильные часы спешат. Они снова покажут правильное время через 12 суток.
