Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
![y''-y'=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-y%27%3D0)
Осуществив замену
![y=e^{kx}](https://tex.z-dn.net/?f=y%3De%5E%7Bkx%7D)
, получим характеристическое уравнение
![k^2-k=0,~~~ k (k-1)=0,~~~~ k_1=0;~~~~ k_2=1](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2-k%3D0%2C~~~+k+%28k-1%29%3D0%2C~~~~+k_1%3D0%3B~~~~+k_2%3D1)
уо.о. =
![C_1+C_2e^x](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%2BC_2e%5Ex)
- общее решение однородного уравнения
Рассмотрим
![f(x)=x+1](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3Dx%2B1)
![P_n(x)=x+1~~~\Rightarrow~~~ n=1;~~~~ \alpha =0](https://tex.z-dn.net/?f=P_n%28x%29%3Dx%2B1~~~%5CRightarrow~~~+n%3D1%3B~~~~+%5Calpha+%3D0)
Сравнивая
![\alpha](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Calpha+)
с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимания что n=1, частное решение будем искать в виде:
yч.н. = x*(Ax+B) = Ax² + Bx
Найдем первые две производные
y' = 2Ax+B
y'' = 2A
И подставим это в исходное уравнение
![2A-2Ax-B=x+1](https://tex.z-dn.net/?f=2A-2Ax-B%3Dx%2B1)
Приравниваем коэффициенты при степени х
![\displaystyle \left \{ {{-2A=1} \atop {2A-B=1}} \right. ~~\Rightarrow~~~~ \left \{ {{A=-0.5} \atop {B=-2}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B-2A%3D1%7D+%5Catop+%7B2A-B%3D1%7D%7D+%5Cright.+~~%5CRightarrow~~~~+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BA%3D-0.5%7D+%5Catop+%7BB%3D-2%7D%7D+%5Cright.+)
Частное решение: уч.н. =
![-0.5x^2-2x](https://tex.z-dn.net/?f=-0.5x%5E2-2x)
Общее решение соответствующего неоднородного уравнения
уо.н. = уо.о. + уч.н. =
![C_1+C_2e^{x}-0.5x^2-2x](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%2BC_2e%5E%7Bx%7D-0.5x%5E2-2x)