Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!
Горизонтально летевшая пуля пробила вращающийся с частотой 20с-1 вертикальный барабан по его диаметру, равному 1м. Какова максимальная скорость пули внутри барабана, если расстояние по окружности между приборами оказалось равным 0,942 м? Ответ представьте в единицах СИ и округлите до единого числа.

Answer 1

Шаг 1. Наглядное представление.
Нарисуем картинку к задаче. Будем считать, что траектория пули не меняется во время её пролёта. Красная точка - там где пуля пробила барабан при влёте в него. Оранжевая - при вылете. Рассмотрим момент вылета пули. Согласно условию задачи, красная точка должна быть удалена от оранжевой на 0.942 м, при этом изначально не понятно в какую сторону по окружности. Поэтому существует два возможных положения красной точки относительно оранжевой.

Шаг 2. Идея решения. 
Что бы вычислить скорость пули необходимо знать:
1. Расстояние, которое пролетела пуля
2. Время, за которое она его пролетела.

Как узнать время? 
Время пролета пули можно вычислить из динамики барабана. Для этого необходимо знать:
1. Скорость вращения барабана.
2. Угол, на который он повернулся за время пролета пули.

Как узнать угол, на который повернулся барабан?
Что бы определить угол, надо проследить по рисунку перемещение красной точки. Стоит отметить, что мы получим бесконечный дискретный набор углов поворота барабана (за время пролета пули барабан мог успеть сделать ноль, один, два, три и т.д. полных оборота).

Какой угол из бесконечного набора выбрать?
Необходимо выбрать такой угол поворота барабана, при котором скорость пули максимальна (условие задачи).

Шаг 3. Математическое решение.
Итак, определим угол поворота барабана (угол b на рисунке, в выкладках обозначается β). Для этого вычислим угол между точка влета и вылета пули (угол a на рисунке, далее α).
Из формулы, связывающей длину дуги окружности и величину центрального угла имеем: 
$\alpha=\frac{l}{r}=\frac{2l}{d}$
Здесь r - радиус барабана (0.5 м), а l - длина дуги окружности (0.942 м по условию).

Угол β = π - α (вариант 1); β = π + α (вариант 2); 
В общем случае (если учесть возможность того, что барабан может сделать несколько полных оборотов за время пролета пули) имеем:
β = π(1 + 2n) ± α, где n - произвольное натуральное число или ноль.

Время за которое барабан повернётся на угол β определяется формулой: 
$t = \frac{\beta}{\omega} = \frac{\beta}{2\pi f}$
Здесь ω - циклическая частота вращения барабан (рад/с), а f - частота вращения в Гц ([Гц] = [1/c]). По условию f = 20 Гц.

В итоге имеем:
$t=\frac{(1+2n)\pm\frac{2l}{d \pi}}{2f}$

Расстояние которое пролетела пуля равна диаметру d = 1 м.
Поэтому скорость пули:
$v=\frac{d}{t}=\frac{2fd}{(1+2n)\pm\frac{2l}{d\pi} }$

Скорость максимальна когда минимален знаменатель получившейся дроби. Знаменатель минимален при n = 0 и при варианте 1 т.е. 
β₀ = π - α

$v=\frac{2fd}{1-\frac{2l}{d\pi}}=\frac{2fd^2\pi}{d\pi-2l}$
Подставляем циферки:
f = 20 Гц; l = 0.942 м; d = 1 м и получаем ответ: 100 м/с (с учётом округления).