Чтобы выяснить однокоренные ли слова бросать и брошь, во-первых, определим, что семантика у этих слов довольно далека друг от друга и никак нигде не перекрещивается:
бросать - это значит "сильным движением руки с размахом отправить в полет, например, мяч, камень, который приземлится в отдаленье".
Брошь - это женское украшение, название которого заимствовано из французского языка, а далее из итальянского, где буквально значит "булавка, иголка".
У глагола "бросать" родственниками являются слова:
бросок, бросовый, броситься, подбросить, набросить.
Так что ответ очевиден: слова "бросать" и брошь" не родственные, а только похожи своими корнями брос- и брошь-.