1. Скорость v(t) - это первая производная от зависимости координаты точки х от времени t - s(t). Поэтому, чтобы найти эту зависимость, надо взять интеграл от скорости.
![s(t) = \int\limits {v(t)} \, dt = \int\limits {(-2t+1)} \, dt = -2* \frac{1}{2} t^{2}+t+C = -t^2+t+C](https://tex.z-dn.net/?f=s%28t%29+%3D+%5Cint%5Climits+%7Bv%28t%29%7D+%5C%2C+dt+%3D+%5Cint%5Climits+%7B%28-2t%2B1%29%7D+%5C%2C+dt+%3D+-2%2A+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+t%5E%7B2%7D%2Bt%2BC+%3D+-t%5E2%2Bt%2BC)
Т.к. в начальный момент времени точка была в начале координат, то постоянная С находится путём подстановки:
![t=0 \\ s(0)=0 \\ s(0) = -0^2+0+C =0 \\ C=0 \\ \\ s(t) = -t^2+t](https://tex.z-dn.net/?f=t%3D0+%5C%5C+s%280%29%3D0+%5C%5C+s%280%29+%3D++-0%5E2%2B0%2BC+%3D0+%5C%5C+C%3D0+%5C%5C++%5C%5C+s%28t%29+%3D++-t%5E2%2Bt)
Ответ: В
2. Первообразные от табличных функций:
![\int\limits {f(x)} \, dx = \int\limits {(5^x -3)} \, dx =\int\limits {5^x} \, dx - \int\limits {3} \, dx = \frac{5^x}{ln5} -3x](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits+%7Bf%28x%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits+%7B%285%5Ex+-3%29%7D+%5C%2C+dx+%3D%5Cint%5Climits+%7B5%5Ex%7D+%5C%2C+dx+-+%5Cint%5Climits+%7B3%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cfrac%7B5%5Ex%7D%7Bln5%7D+-3x)
Ответ: А
3. Первообразная:
![\int\limits {f(x)} \, dx = \int\limits { \frac{1}{x} } \, dx = ln|x|](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits+%7Bf%28x%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits+%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%7D+%5C%2C+dx+%3D+ln%7Cx%7C)
На интервале
![(-\infty; 0)](https://tex.z-dn.net/?f=%28-%5Cinfty%3B+0%29)
функция f(x)=1/x отрицательна, первообразная ln(x) при этих значениях не существует, поэтому пишут:
![\int\limits { \frac{1}{x} } \, dx = ln|x|](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits+%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%7D+%5C%2C+dx+%3D+ln%7Cx%7C)
Или, для указанного интервала можно записать:
![\int\limits { \frac{1}{x} } \, dx = ln(-x)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits+%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%7D+%5C%2C+dx+%3D+ln%28-x%29)
Ответ: Б
4. Находим первообразную. Умножим и разделим подынтегральную функцию на 2. Затем двойку заносим под дифференциал. От этого ничего не меняется, т.к. d(2x) = 2dx. В этом случае аргумент функции (в данном случае синуса) будет совпадать с дифференциалом, и можно напрямую воспользоваться табличной первообразной синуса.
![\int\limits {f(x)} \, dx = \int\limits {sin(2x)} \, dx = \frac{1}{2} \int\limits {2sin(2x)} \, dx = \\ \\ = \frac{1}{2} \int\limits {sin(2x)} \, d(2x) =\frac{1}{2} (-cos(2x)) = -\frac{1}{2} cos(2x) +C](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cint%5Climits+%7Bf%28x%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits+%7Bsin%282x%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cint%5Climits+%7B2sin%282x%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%5Cint%5Climits+%7Bsin%282x%29%7D+%5C%2C+d%282x%29+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D++%28-cos%282x%29%29++%3D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+cos%282x%29+%2BC)
Первообразная проходит через точку (0; -1). Поэтому надо в полученную первообразную вместо икса подставить его значение (х=0) и приравнять значению первообразной (-1). Так мы найдём постоянную С.
![-\frac{1}{2} cos(2*0) +C = -1 \\ \\ -\frac{1}{2} cos(0) +C = -1 \\ \\ -\frac{1}{2} *1 +C = -1 \\ \\ C = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} =](https://tex.z-dn.net/?f=+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+cos%282%2A0%29+%2BC+%3D+-1+%5C%5C++%5C%5C++-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+cos%280%29+%2BC+%3D+-1+%5C%5C++%5C%5C++-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%2A1+%2BC+%3D+-1+%5C%5C++%5C%5C+C+%3D+-1+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%3D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+%3D)
Итак, искомая первообразная имеет вид:
![\int\limits {sin(2x)} \, dx = -\frac{1}{2} cos(2x) -\frac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint%5Climits+%7Bsin%282x%29%7D+%5C%2C+dx+%3D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+cos%282x%29+-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+)
Ответ: Б
5. Из рисунка видно, что площадь фигуры ищется от нуля до единицы.
Закрашенную область можно вычислить так:
1) найти площадь фигуры, ограниченной кривой
![y= (\frac{1}{3} )^x](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29%5Ex)
2) найти площадь фигуры, ограниченной кривой
![y = \frac{x}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D+)
3) из первой площади вычитаем вторую.
![S = \int\limits^1_0 {(\frac{1}{3} )^x} \, dx - \int\limits^1_0 { \frac{x}{3}} \, dx = \int\limits^1_0 {3^{-x}} \, dx - \int\limits^1_0 { \frac{x}{3}} \, dx = \\ \\ = -\int\limits^1_0 {3^{-x}} \, d(-x) - \int\limits^1_0 { \frac{x}{3}} \, dx = (- \frac{3^{-x}}{ln3} - \frac{1}{6}x^2)|_0^1 = \\ \\ = (- \frac{3^{-1}}{ln3} - \frac{1}{6}1^2) - (- \frac{3^{0}}{ln3} - \frac{1}{6}0^2)= \\ \\ = - \frac{1}{3ln3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{ln3}= \frac{3}{3ln3} -\frac{1}{3ln3} - \frac{1}{6} =](https://tex.z-dn.net/?f=S+%3D++%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%29%5Ex%7D+%5C%2C+dx+-+%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B+%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B3%5E%7B-x%7D%7D+%5C%2C+dx+-+%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B+%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5C%5C++%5C%5C+%3D+-%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B3%5E%7B-x%7D%7D+%5C%2C+d%28-x%29+-+%5Cint%5Climits%5E1_0+%7B+%5Cfrac%7Bx%7D%7B3%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+%28-+%5Cfrac%7B3%5E%7B-x%7D%7D%7Bln3%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7Dx%5E2%29%7C_0%5E1+%3D+++%5C%5C++%5C%5C+%3D+%28-+%5Cfrac%7B3%5E%7B-1%7D%7D%7Bln3%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D1%5E2%29+-++%28-+%5Cfrac%7B3%5E%7B0%7D%7D%7Bln3%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D0%5E2%29%3D++%5C%5C++%5C%5C+%3D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B3ln3%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bln3%7D%3D+%5Cfrac%7B3%7D%7B3ln3%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B3ln3%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%3D)
![=\frac{2}{3ln3} - \frac{1}{6}](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3ln3%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D)
Ответ: Г